尹修草

(邵阳学院 理学院，湖南 邵阳，422000)

分数阶微分方程为描述不同物质的记忆和继承性质提供了强有力的工具。因此，近10年来，分数阶微分方程在各类学科中得到了广泛的应用[1-5]。

由于在多数情况下，分数阶微分方程的解析解不容易得到，所以,数值方法成为求解分数阶微分方程的主流方法[6-11]。带Dirichelet边界条件的Riesz分数阶方程的数值解已有很多学者进行了研究[12-16]。刘桃花等[17]研究了带有分数阶边界条件的一维Riesz分数阶方程的有限差分方法。本文考虑带Robin边界条件一维Riesz分数阶方程的有限差分方法，利用中心差分算子对式中Riesz分数阶导数进行离散,在此基础上给出了一种差分方法，分析了该方法的解的存在性、稳定性以及收敛性。

1 基本方程及其差分格式

本文考虑下列含有Riesz分数阶导数的扩散方程：

(1)

Robin边界条件为

(2)

u(x,0)=d(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

定义分数阶中心差分算子[12]：

其中:

用中心差分算子对式(1)中Riesz空间分数阶导数进行近似

利用一阶向后差分算子对式(2)中边界条件中导数进行近似，由式(1)～(3)可以得到如下隐性差分格式：

(5)

(6)

(7)

当1≤i≤N-1时，局部截断误差为

(8)

当i=N时，边界上的局部截断误差为

(9)

由此可知，差分格式(5)～(7)与方程组(1)～(3)是相容的。

2 结果及其证明

(10)

(11)

(12)

将分数阶方程(10)～(12)改写成矩阵的形式：

(13)

(14)

定理1 近似Riesz分数阶扩散方程的差分格式(5)～(7)的解存在且唯一。

证明根据引理1，有

由式(14)可知

当1≤i≤N-1时，有

(15)

当i=N时，有

(16)

当1≤i≤N-1时，得

(17)

当i=N时，有

(18)

定理2 差分格式(5)～(7)是无条件稳定的。

证明由式(16)可得

(19)

(20)

应用式(20)共m-1次，可得

综上所得，近似Riesz分数阶扩散方程的差分格式(5)～(7)是无条件稳定的。……