熊河浪，张 华

(重庆理工大学 理学院， 重庆 400054)

群体运动一直是近几十年国内外众多学者研究的重要问题，其中耦合振子系统是研究热点问题之一。17世纪物理学家惠更斯发现了两邻近钟摆同步的振动现象。随后，Kuramoto Y[1]提出的耦合振子模型解决了钟摆的同步特性问题，并可以描述自然界中很多集群同步现象。振子集群同步现象在物理、生物、化学、社会等不同领域具有非常广泛的应用，如在物理和化学中，用于自旋玻璃模型的建模和分析[2]、Josephson结阵列的同步现象[3]、原子反冲激光中的同步现象[4]、中微子的味道演化[5]、电化学振荡器中的同步现象[6]、在互联网连接网络中各路由器同步发射信号时发生的网络堵塞现象[7]；在生物中，心脏起搏器细胞[8]、昼夜节律[9]、神经科学[10]、动物群集行为[11]、鱼群涌现[12]等。

早期Kuramoto振子模型常是基于平均场耦合的，其解析处理方法一般基于平均场理论和自洽方法，如Thomas等[13]通过大型网络上的广泛数值模拟，系统地比较了非均匀度平均场(HMF)和淬灭平均场(QMF)方法的预测结果。Yook等[14]研究了Kuramoto振子在去同步阶段的2个不同阶参数的行为。Wesley等[15]分析了2个改变标准的易感-感染-易感(SIS)动力学模型。随后有学者开始将Kuramoto振子模型转化为梯度系统的形式，利用Lojasiewicz不等式理论分析该振子模型(梯度系统形式)的动力学行为[16]。

1阶Kuramoto振子的模型还拓展到不同的连通拓扑效应、噪声效应、混杂耦合形式的效应以及复杂网络连接效应等多种复杂外部和内部环境中考虑[17]。……