杜巧玲，许安见

(重庆理工大学 理学院， 重庆 400054)

本文中的T表示复平面上的单位圆周，μ表示其上规范化的弧长测度，Lp(T)表示相应于μ的Lebesgue空间，L∞(T)表示在T上的所有本性有界函数全体。Hardy空间Hp为Lp(T)的闭线性子空间[1]：

当p=2时，H2(T)是Hilbert空间。Hardy，Riesz等在20世纪30年代最先引入并研究了Hardy空间[2-3]。

Toeplitz算子[4]的研究源于德国数学家Toeplitz研究对角线上为常数的矩阵，其可表示为H2(T)上的算子。用P表示L2(T)→H2(T)的正交投影算子，对φ∈L∞(T)，以φ为符号的Toeplitz算子Tφ[5]定义为：

Tφ∶H2(T)→H2(T)

Tφf=P(φf)，f∈H2(T)

Toeplitz算子研究主要致力于用符号的性质刻画Toeplitz算子的算子理论性质。20世纪中叶以来，Toeplitz算子理论研究得到了很大的发展。众多研究者对Hardy空间上的Toeplitz算子的有界性、紧性、谱和Fredholm算子进行了深入的研究[6-11]。此外，Zhu等[12]主要研究了Hardy空间和Bergman空间上Toeplitz算子、Hankel算子、复合算子等，取得了大量重要的研究成果。

对于Hardy空间，Nordgren[13]给出了Toeplitz算子Tφ有一个非平凡约化子空间的一个充分条件；C.Cowen[14]证明了对f∈H∞，若存在α∈D，f-f(α)的内函数部分是有限Blaschke乘积φ，则Tf与Tφ具有相同的交换子，所以Tf与Tφ具有相同的约化子空间。

对于Bergman空间，孙善利[15]从Thomson[16]的结果出发，完全刻画了符号为两个Blaschke乘积的解析Toeplitz算子的约化子空间。2000年，Zhu[17]证明了以2阶Blaschke乘积φ为符号的乘积算子Mφ有且仅有2个非平凡极小约化子空间；Hu等[18]把Bergman 空间嵌入双圆盘Hardy空间中考虑，证明了Bergman空间上以有限Blaschke乘积φ为符号的解析Toeplitz算子Tφ总是可约的；Guo等[19]证明了以3阶Blaschke乘积φ为符号的乘积算子Mφ总是可约的，并且该算子的约化子空间的个数与φ的黎曼面的连通分支个数有关；Douglas等[20]证明了对有限阶Blaschke乘积φ为符号的乘积算子的极小约化子空间个数等于φ-1∘φ的Riemann曲面的连通分支数。……