方长杰， 张瑞瑞

（重庆邮电大学 理学院，重庆400065）

1 序言

设C为Hilbert空间H中的非空闭凸集，A、F是H→H的2个连续映射，〈·，·〉和‖·‖分别是H中的内积和范数.本文将考虑如下双层变分不等式问题（BVIP）：寻找点x*≥VI（C，A），使得

其中，VI（C，A）表示如下变分不等式问题（VIP）的解集，寻找y*≥C使得

众所周知，VIP问题（2）等价于不动点问题：找到一个点x*≥C，使得

其中λ取任意正实数.求解VIP（2）最简洁的方法是投影方法，该方法在可行集上只进行一步投影.但是，这种方法的收敛性需要一个较强的假设，即映射算子A为强单调且Lipschiz连续的.为了避免这种强烈的假设，Korpelevich［1］引入求解鞍点问题的超梯度方法，并将其推广到有限维和无限维Hilbert空间中的VIP问题，其迭代步骤为

双层变分不等式问题（1）是拟变分不等式问题以及具有均衡约束的均衡问题的特例［5-7］；同时，它们涵盖了一些具有均衡约束的数学规划问题［8］、双层最小化问题［9］、变分不等式问题［3，10］和二层凸规划模型［11］等.基于这些原因，有必要研究双层变分不等式问题.最近，Thong等［12］提出了求解双层伪单调变分不等式问题的超梯度方法.在该方法中，映射A是伪单调的、Lipschitz连续的，但Lipshiz常数需要事先知道.

惯性型方法起源于含摩擦重球系统（HBF）的隐式离散化方法，其主要特点是每个新的迭代点依赖于前2次迭代［13］.随后，将该惯性技术推广到求解极大单调算子的包含问题［14］.近年来，惯性类型算法的研究越来越受到人们的关注，如惯性向前-向后分裂算法［15］、惯性道格拉斯分裂算法［16］和变分不等式的惯性型方法［17］等……