张小梅， 舒乾宇

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

对于半环上半模结构的研究已经有了很长的历史.1979年，Cuninghame-Green［1］在max-plus代数中构建了类似于线性代数的一系列理论，之后研究者们又在该理论上得到了许多类似于线性代数的结论［2-6］.2007年，Di Nola等［7］在MV-max代数中构建了半环上半模的结构，引入了许多定义并提出了一些开问题，其中之一就是每组基的基数是否相同.这个问题在max-plus代数中已经得到了证实［8］.2011年，Zhao等［9］在join半环中给出每组基有相同基数的充要条件.2014年，Tan［10］在交换半环中给出每组自由基有相同基数的充要条件.同年，Shu等［11］在交换半环上的n-维半线性空间中给出每组基有相同基数的充要条件.2016年，Tan［12］讨论了自由集及其性质.区别于模的是，在半模中，线性无关的向量组不一定是自由的.因此，研究者们把线性无关分成了半线性相关和强线性无关2类.但对交换半环上强线性无关集的性质和含有强线性无关基的有限生成半模的基数问题至今没有讨论，本文将在交换半环上对强线性无关集的性质和含有强线性无关基的有限生成半模的基数问题进行讨论.

1 预备知识

为了下面讨论方便，本节将给出一些定义和基本结论.

定义1.1［13］半环L=（L，+，·，0，1）是满足下述性质的代数结构：

1）（L，+，0）是交换幺半群；

2）（L，·，1）是幺半群；

3）对任意的r，s，t∈L，满足r·（s+t）=r·s+r·t和（s+t）·r=s·r+t·r；

4）对任意的r∈L，有0·r=r·0=0成立；

5）0≠1.

若对任意的r，r′∈L，满足r·r′=r′·r，则称L是交换半环.

例1.11）设N是所有自然数构成的集合，N连同普通的加法和乘法运算构成交换半环.

3）模糊代数〈［0，1］，max，min，0，1〉是交换半环.