基于矢量拟合的直流输电线路建模

2021-09-13韩昆仑杨东睿

科学技术与工程 2021年24期

韩昆仑，杨东睿，代宇

(1.广西大学电气工程学院，南宁 530004；2.广西大学广西电力系统最优化与节能技术重点实验室，南宁 530004)

输电线路作为系统中的重要组成部分，对线路建立合理的数学模型十分关键[1]。目前对于高压直流输电线路传输特性的研究常采用集中参数模型和分布参数模型。其中集中参数的π型电路常用在线路参数和电磁暂态计算[2]，文献[3-4]对π形等值电路的参数计算公式进行推导，得到π型电路等效电路。但当架空线路长度大于300 km或电缆长度大于100 km，集中参数模型无法准确表达线路参数的分布特性。文献[5]通过串联π型等效电路来提高线路模型精度，但过多的模型阶数导致仿真效率降低，且容易引发系统的虚假数值振荡[6]。

贝瑞隆模型考虑了线路的分布特性，文献[7]提出一种基于贝瑞隆模型的新型差动电流保护方法，可有效消除分布电容电流的影响。文献[8]改进了贝瑞隆算法，分别使用线路1/6、1/2及5/6点作为参考值进行计算得到近似短路电流，实现全线保护。文献[9]针对贝瑞隆模型抗干扰较差的缺点，提出了一种将线路电压量和电流量在无穷个无限小的线段上叠加而成的输电线路分布参数模型，但是计算量巨大。

上述两种模型都属于均匀无损线路模型，即一般选取单一固定频率或某一经验波速进行研究。而不同频率分量的行波沿输电线路传播时的衰减程度和速度各不相同，即存在行波色散现象。无损线路模型未考虑线路的频率特性差异及由此造成的行波波头畸变，进而影响对行波传播特性的分析效果。且常参数线路模型会造成高次谐波放大使波形畸变严重[10]。文献[11-13]对行波在传输过程中产生的色散现象进行了详细分析，指出色散现象是造成故障分析误差较大的主要原因。为了消除色散的影响，文献[14]采用分布参数模型，通过求取特定频带下的传播函数和频域行波校正函数，并对畸变波头进行校正。文献[15]以输电线路中的基本参数为基础，推导出特高压输电线路的分布参数计算公式。但是以上方法只能从一定程度上减小色散影响，没有得出具体数学模型，无法进行进一步故障分析计算。因此，建立准确的频变线路模型是非常必要的。

针对线路参数的频变特性，有学者提出了频变参数模型，其模型计算更为精确[16-17]。频变参数模型需要对线路中的电阻R、电感L、电导G、电容C4个频变参数进行拟合，文献[18]对线路的特征阻抗以及传播系数进行低阶拟合，并通过最小二乘法减少冗余零极点的产生从而提高精度。但最小二乘法无法很好拟合非线性函数，其适用性有待考虑。反向传播(back propagation, BP)神经网络具有较好的非线性函数逼近拟合效果[19]，但是神经网络拟合需要大量的数据要本作为基础。相比之下，矢量拟合法是一种高效稳定的方法，具有收敛速度快数值稳定的特点[20-21]。其中Marti[22]模型是基于矢量拟合法的线路模型，考虑了线路参数的频变特性，基本思路是在复频域中拟合波阻抗和传递函数，并将结果转化为有源等值网络。但有源网络在仿真过程中有可能发散，导致无法实现电磁暂态的计算和分析[23]。

采用基于矢量拟合的直流输电线路频变参数建模方法。通过对不同频率下高压直流线路的阻抗特性进行测量，利用矢量拟合法得到等效多项式，对该多项式进行参数转化，构造相应的无源电路模型。该方法的优点是完全的数学建模方法，考虑了频变特性的影响，通过选取适当的拟合参数，所建立的电路模型更为准确。通过采用在PSCAD/EMTDC软件上搭建的分布参数线路算例与测量数据对比，验证了该方法在直流线路频变特性建模方面具有较强适用性和较高精度的特点。

1 矢量拟合法

矢量拟合法(vector fitting，VF)，最早由Gustavsen等[24]提出，并不断优化。对一个单输入单输出的线性非时变N阶系统，其通常可描述为传递函数的形式，可表示为

(1)

式(1)中：a0,a1,…,aN、b0,b1,…,bN为传递函数各阶次项的实系数；s为拉普拉斯变换的复参变量，称为复频率，s=jωt；ω为角频率；t为时间；对式(1)一般可通过构造有理函数对其进行有理逼近，再将其拟合为有理分式和的形式，可表示为

(2)

引入辅助函数σfit(s)：

(3)

使(σf)fit(s)≈σfit(s)f(s)，即

(4)

写为零极点形式：

(5)

(6)

由式(6)可以看出，当σfit(s)=1时，拟合效果最佳。

2 基于矢量拟合的线路建模

2.1 拟合函数的分解

通过矢量拟合法求解，函数的有理逼近表达式可以转化为式(2)，将式(2)分解为常数项与一次项和的部分、实数极点有理分式部分、复共轭极点有理分式部分，即

(7)

式(7)中:N为全部极点数，设有M个实数极点，则后N-M个极点为共轭复数极点，且互为共轭的两个极点相邻，共有(N-M)/2对复数极点；

F1(s)=d+sh

(8)

(9)

(10)

2.2 输电线路等效建模

拟合得到的数学分析模型可分解为三部分，每一部分都可以转化为相应的电路形式，将表达式各个部分的对应电路进行串联，可得到直流线路的等效电路模型，即为被拟合系统函数的阻抗特性模型。首先考虑常数项和一次项，由于是固定值，可以用值为R和L的电阻和电感进行串联等效替换，得到的电路图如图1所示。

图1 一次项和常数项等效电路

图2 实数极点的等效电路

当极点为复数极点时，取其中一对共轭复数极点a1和a2及其对应的留数c1和c2为例进行说明，相应电路图如图3所示。

图3 复数极点的等效电路

通过上述分析，可将F(s)中的每一项分别用相应的等效电路表示，然后将等效电路逐一串联，即得到线路的等效模型如图4所示。

图4 线路等效模型

3 线路建模影响因素研究

通过分析建立了基于矢量拟合法和线路等效建模的直流线路分析模型，但建模效果受多方面因素影响，因此需进一步对初始极点数量、极点类型、极点是否稳定以及采样数据加权方式等因素对拟合效果的影响进行分析。

3.1 极点数量影响

若被拟合函数为N阶系统，则其分母多项式的最高次数为N，因此当拟合函数选取极点个数小于被拟合函数的阶数N时，就无法还原系统本身的固有属性，此时无论采用多少次迭代，也无法得到较好的拟合效果，给定3阶被拟合函数可表示为

相遇一多，便算得上是熟悉。她也说不清自己是在哪个瞬间喜欢上他的，他总是一副懒洋洋的没有睡醒的样子，好几次都要提醒他忘了手机或者包包或者文件。

(11)

对该函数频率特性进行采样，分别选取2、3、4个极点对其进行拟合，拟合结果如图5所示。

图5 不同拟合阶数下的幅频特性

如图5所示，当选取2个极点时，拟合结果误差明显较大。当取3阶时即可以得到精确的拟合效果，4阶拟合结果与3阶拟合结果相比虽有提高，但是在后续的建模中计算量更大。因此，应当选择合适的极点数量，数量太少会影响拟合效果，太多则会增大计算量。

3.2 极点稳定性影响

矢量拟合法在迭代过程中，不断将新的极点替代旧的极点来得到更好的拟合结果，在求解极点的过程中，偶尔会出现位于s平面右半部分的不稳定极点。因此，为了得到更好的实验结果，一般考虑将这些极点翻转到左半平面使其成为稳定极点。给定3阶被拟合函数为

(12)

分别对极点做稳定性处理以及保留右半平面不稳定极点，其效果对比如图6所示。

图6 极点处理拟合结果对比

对比图6可以看出，虽然保留位于s平面右半平面的极点拟合更加精确，但是其传递函数开环不稳定，引起时域的曲线发散，对建模研究和后续的分析无实际意义。因此，一般考虑牺牲部分拟合精度而选取对研究有实际意义的稳定极点。

3.3 采样数据的加权方式影响

拟合过程中，偶尔会出现特定位置误差较大的情况，这时可以通过对采样数据加权来改善这一问题。对采样点的加权方式有两种：不加权或加权系数全为1；倒数加权，即加权系数为采样点数值幅值的倒数。

采用倒数加权，当采样点数据的幅值较小时，则其加权系数较大，可以减小相对误差，改善拟合效果。这种加权方式虽然会使其他部分的绝对误差稍有增大，但总体拟合效果得到改善，因此，对加权方式的选择，可根据被拟合频率响应的性质来决定。以给定3阶被拟合函数为例，对其采用倒数加权，拟合结果如图7所示。

图7 倒数加权拟合结果

图6(a)、图7均为极点稳定性处理后的拟合结果。其中，图6(a)为不加权，图7采用倒数加权，可以看出，采用倒数加权后，在测量数据幅值较低的部分，拟合效果明显改善。

4 算例验证

为了验证本文模型，在PSCAD软件上搭建了高压直流输电线路模型，并使用阻抗扫描元件测得线路频率阻抗特性，通过矢量拟合法对离散的频率点进行有理逼近后得到的极点和留数如表1所示，拟合结果如图8所示。

表1 极点和留数

图8 线路阻抗幅频特性

图8为线路阻抗的拟合结果，可以看出，拟合结果和测量线路结果基本吻合，幅值最大误差不超过10-2。

直流输电线路测量数据、拟合结果以及等效电路仿真结果对比如图9所示。由图9可知，通过矢量拟合法搭建的等效电路模型仿真结果和线路的测量数据在103～105Hz误差较小。由于计算误差等原因，结果在低频处误差稍大，但模型整体的精度较高，误差最大不超过10-2，能满足对精度的要求，证明了矢量拟合法对线路进行等效建模方法的适用性。