张 琪，缪 清

(云南民族大学 数学与计算机科学学院,云南 昆明 650500)

主要研究包含(p,q)-Kirchhoff型方程组

(1)

(M)存在2个正常数m0,m1，对于所有的t≥0有m0≤Mi(t)≤m1.

函数F,G:Ω×2→满足F(x,s,t),G(x,s,t)对所有(s,t)∈2在点x都可测且对于几乎处处x∈Ω有(s,t)为C1.Fu,Fv分别是F对u,v的偏导数，Gu,Gv分别是G对u,v的偏导数.假设F(x,s,t),G(x,s,t)满足如下条件：

问题(1)与Kirchhoff[1]研究的弹性弦方程

(2)

有关，这个方程考虑了弹性弦在振动过程中的长度变化影响，推广了D’Alembert的弹性管柱自由振动方程.随着研究的深入，问题(2)转化为

(3)

在文献[2-8]中，问题(3)已经得到了很多研究.

Hssini等[9]基于Bonanno临界点定理[10]研究了一类带Navier边值条件的(p,q)双调和方程问题，后来Allaoui等[11]把文献[9]推广到变指数双调和算子方程组.随着临界点理论在各个领域的广泛应用，许多学者在4阶边值问题方面进行了深入的研究，文献[12-15]研究了4阶边值问题解的存在性和多解性.其中，在文献[12]中，Hssini等基于Ricceri变分原理[16]研究了4阶Kirchhoff型问题

(4)

解的存在性和多值性.随后，肖虹兆等[17]对问题(4)做了推广，利用Ricceri多解定理研究了(p1,p2,…,pn)-Kirchhoff型问题的多解性.

近年来Ricceri 3临界点定理[18]越来越广泛的被用于解决4阶边值问题，例如，Li等[19]研究了(p,q)双调和算子方程问题

(5)

在文献[20-21]中，Ricceri三临界点定理也用于解决 (p,q)-Kirchhoff型问题

(6)

但目前为止根据Ricceri 3临界点定理研究带Navier边值条件的(p,q)-Kirchhoff型的双调和问题的结论甚少，因此，受以上研究的启发，本文根据Ricceri 3临界点定理，证明了(p,q)-Kirchhoff型方程组(1)至少有3个解存在.

1 预备知识

记

(7)

我们称(u,v)∈X是问题(1)的弱解如果对任意(ξ,η)∈X有

(8)

定义泛函H:X→为

(9)

(10)

通过假设(M),(F),(G)可得H∈C1(X,)，同时，求问题(1)的弱解就转化为求泛函H的临界点……