王月月，吕堂红，周林华

(长春理工大学 理学院，吉林 长春130022)

0 引 言

偏利共生关系在生态学中描述的是对一方有利而对另一方既无利也无害的共生类型. 例如，兰花依附在乔木枝干的表面，使自己更易获得阳光和空气中的水分，而对乔木本身却无影响. 虽然这种生物现象很常见，但是直到2003年，孙广才等[1]才根据Lotka-Volterra竞争系统提出了针对偏利共生的生物模型，随后，祝占法等[2]提出了一方不能独立生存的两种群偏利合作模型，分析了污染中偏利共生的两种群持续生存与绝灭的阈值.

生态系统不断受到不可预测的力量干扰，这会导致某些生物参数发生改变，如存活率[3]. 为了更准确地描述这种干扰，学者们引入了反馈控制变量，文献[4-9]讨论了具有反馈控制变量的系统的动力学性质. 2018年，杨英钟等[10]研究了具反馈控制的一方不能独立生存的偏利合作系统

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式中：bi,aij,η,fi(i,j=1,2)均为正常数.xi(i=1,2)表示种群在t时刻的生长密度，ui(i=1,2)表示反馈控制变量，b1,b2表示种群x1,x2的内禀增长率，aii(i=1,2)表示两种群的密度制约系数.研究结果表明，不适当的反馈控制变量将导致系统中不能独立生存的种群x1绝灭.

在自然界中一种控制策略会对多个物种产生影响. 例如，在农业生产中，喷洒农药可以减少杂草的数量，但同时也对农作物或相关动物的生长产生负面影响. 2015年，韩荣玉等[11]讨论了具有单反馈控制变量的Lotka-Volterr合作系统的稳定性，分析得到在适当限制反馈控制变量系数的情况下，系统仍然可……