福建省龙岩市长汀县第一中学 (366313) 周兴腾

在许多高考题或高考模拟题中，导数的综合题往往都是把关的角色，其中恒成立问题中求参数范围的题目更是内容丰富、形式多样，而我们有些同学也经常是止步于此，究其原因是缺少破题方法．而因题而异、深挖内含是非常重要的，其中抓住题设特点，通过构造新函数求解此类问题就是一个有效的举措．本文举例介绍几种常见的使用方法，供参考．

一、移项后构造

通过把题设的恒不等式移项处理，变成一边为零后，直接构造函数．

例1 设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.若当x≥0时，恒有f(x)≥0，求a的取值范围.

解析：由于f(x)=x(ex-1-ax)，当x≥0时，f(x)≥0等价于ex-1-ax≥0，令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.若a≤1，则当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，则当x∈(0,lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0,lna)时，g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(-∞，1].

评析：将不等式转化为一个函数式恒大于零(或恒小于零)后，如果通过求导数能够解决参数范围的，就不需要再进行其他变形，否则可能将问题复杂化．

例2 设函数f(x)=(x+1)1n(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解析：设g(x)=(x+1)1n(x+1)-ax，其中x∈(-1，+∞)．对函数g(x)求导得g′(x)=1n(1+x)+1-a．令g′(x)=0，解得x=ea-1-1．

①当a≤1时，对任意的x≥0，g′(x)>0，所以g(x)在[0,+∞)上是增函数，又g(0)=0，所以对所有的x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对任意的x≥0都有f(x)≥ax．

②当a>1时，对于01时，不是对所有的x≥0使f(x)≥ax成立．综上可知，所求实数a的取值范围为(-∞,1]．

评注：将不等式恒成立转化为函数式恒大于零是解题的关键所在．后面再根据解题需要，通过求导、分类讨论的方法判断不等式是否成立，从而确定了参数的范围．

二、参数分离后构造

通过分离参数，可将恒不等式问题转化为求函数的最大值或最小值问题，使后续的解题方向……