福建省南平市高级中学 (353000) 江智如 蔡 珺福建省南平市教师进修学院 (354200) 许贵全

1 试题呈现

(2021年高考全国I卷理科第22题)已知函数f(x)=x(1-lnx)．

(1)讨论f(x)的单调性；

2 试题分析

本试题依托函数性质，考查导数公式和导数运算法则、利用导数判断函数单调性的方法以及不等式证明相关知识，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力[1]．综合考查考生化归与转化思想、推理论证能力和运算求解能力．本文在学科素养指引下，对试题进行解法探析．

3 试题解析

3.1 极值点偏移法

解法1：(1)由已知条件可得函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=-lnx，令f′(x)=-lnx=0，则x=1．当00；当x>1时，f′(x)<0．所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.

图1

下面先证明：x1+x2>2．

要证明x1+x2>2成立，只要证明x2>2-x1成立．因为02-x1等价于f(x2)0，所以F(x)在(0,1)上单调递增，从而F(x)2成立．

再证明：x1+x2

3.2 切线放缩法

思路分析：由于解法1函数G(x)单调性的验证过程复杂，难以直接判断G(x)的正负，故考虑利用函数f(x)在(e,0)的切线判断与f(x)的大小，构造新函数运用放缩法证明结论．

解法2：由(1)可求函数f(x)在(e,0)的切线方程为：y=e-x．令H(x)=f(x)-(e-x)=2x-xlnx-e，x∈(0,e)，则H′(x)=1-lnx>0，从而H(x)在(0,e)上单调递增，于是H(x)x1，因此x1+x2

评析：导数概念及应用是高中数学教学的重要知识之一，能够让考生深刻地了解与理解不断动态变化的事物本质，提高思维层次．本试题分步设问，逐步推进，由浅入深，重点突出，从多角度考查导数的基础知识、利用导数研究函数性质的方法以及不等式的性质与应用，同时考查考生推理论证能力、运算求解能力、分析与归纳能力和化归转化思想．解法1利用极值点偏移方法求解，本质上反映函数值变化快慢的问题，是……