陈越超，冯进钤，王晓敏

(西安工程大学 理学院，陕西 西安 710048)

0 引 言

非光滑动力系统是近年来国内外学者密切关注的问题之一，其中碰撞振动系统是常见的一类非光滑动力系统。在力学、机械学及机电工程、航空航天技术等实际系统中存在非光滑因素[1]，例如电路系统的开关装置、机构运动的碰撞和干摩擦问题[2-3]，走路机器[4]和状态反馈控制问题[5]等。以此建立的数学模型会表现出不连续或不可微的非线性动力学行为[6-7]，比如系统的分岔和混沌运动[8-10]。 由于光滑动力系统理论无法应用于非光滑动力系统中，因此，对非光滑动力系统理论与近似方法的研究，是人们解决非光滑动力系统问题的有效途径。

HOLMES首次在碰撞振动系统中应用现代动力系统理论[11]，随后SHAW等利用中心流形定理分析了碰撞振动系统的分岔现象[12]。文献[13]通过讨论Hopf分岔和不同形式的异宿轨道，分析了碰撞振动系统的混沌运动。混沌是非线性系统复杂性的重要特征之一，Lyapunov指数[14-16]是判别混沌运动的数值方法之一，而Melnikov、Shilnikov方法是研究混沌运动的2种解析法。 最初Melnikov方法主要用于光滑系统，后来DU等将Melnikov方法应用于倒立摆模型，进而将Melnikov函数推广到高阶[17]。 CAO等命名了SD振子，并通过Melnikov方法分析了系统的分岔和混沌现象[18]。 Melnikov方法通过计算稳定流形和不稳定流形之间的距离函数，得到系统存在简单零点的必要条件；根据Smale-Binkhoff定理，若存在简单零点，则系统具有Smale马蹄性质，从而可能出现混沌现象[19]。

本文用Melnikov方法研究一般的单边碰撞振动系统。……