魏文震，王 欣，李 垚，吕 健，孙 磊

（国网山东省电力公司淄博供电公司，山东 淄博 255032）

0 引言

配电网三相不平衡现象严重，重载负荷情况时有发生，非线性负荷使得配电网谐波存在情况加重。因此，面对结构复杂，情况多变的配电网，应用于输电网的传统同步相量测量单元（Phasor Measurement Unit，PMU）技术已无法满足相量测量精度的要求。针对配电网的特点，研制了一种适用于配电网的微型同步相量测量单元（Micro Phasor Measurement Unit，μPMU）与故障录波装置，该装置相对PMU 来说体积小、成本低、安装方便，能满足智能电网大面积配置的需求［1-3］。由于该装置采用的相量测量算法的动态监测性能和测量精度有限，急需要一种适合配电网的同步相量测量算法［4-8］。

传统的PMU 测量算法通常采用静态相量模型。配电网由于非线性负载和分布式电源的接入，使得电网结构变得复杂，频率波动和谐波干扰等更明显，为了更好地对幅值、相角、功率波形和频率的动态变化进行精确测量和跟踪，需要在传统的相量测量算法基础上进行改进，研究适合配电网的同步相量测量算法［9-10］。文献［11］利用泰勒级数对时变相量进行建模，通过相量导数来修正系统动态特性对相量测量精度的影响，但计算量大，实用性不高。文献［12］提出一种利用时域和频域信息的动态同步相量测量算法，在低频振荡等动态条件下，该算法能有效降低信号动态特性对测量精度的影响。文献［13］在相量动态模型的基础上对传统的离散傅里叶变化法（Discrete Fourier Transform，DFT）进行改进，提出了一种插值离散傅里叶变化法（Interpolation Discrete Fourier Transform Method，IpDFT）。文献［14］中按照使用性能将PMU 分为P 类和M 类，前者的测量速度快，精度较差，致力于电网的保护操作；后者测量速度慢，需要拥有更高的稳态测量精度，适合测量应用。文献［15］提出了一种同时适用于P 类和M 类的相量和频率测量算法。该算法在对相量波动进行跟踪时，要求测量不确定性要小，其测量结果很难满足IEEE c37.118.1—2011 标准的要求。综上所述，现有的同步相量测量算法是无法直接应用于配电网的。

在所研制的配电网μPMU 与故障录波装置的基础上［2］，提出了一种适合配电网动态监测的同步测量算法。首先，建立动态电力信号模型，利用汉宁窗对信号模型进行加窗处理，通过IpDFT 计算出加窗信号的频率值及二次谐波的幅值和相角，从加窗信号中去除二次谐波；然后利用所提的泰勒加权最小二乘算法（Taylor Weighted Least Square Algorithm，TWLS）对处理后的动态信号进行相量和频率的估计，最后通过MATLAB 仿真分析验证所提算法的动态测量性能。

1 理论分析

1.1 信号的建模

对于含噪声干扰的动态电力信号波形模型可以表示为：

式中：ϕ(t)为初相角；a(t)和φ(t)分别为相量的幅值和相位；Re{·}为实部的求取；b（t）为均值为0、方差为δ2的高斯白噪声；p（t）为动态相量；f0为参考频率。其中，φ（t）为

式中：F为瞬时频率f和参考频率f0间的差值，即F=(f-f0)。

在动态条件下，相量是个时变量。由于泰勒级数是表征信号动态特性的有力工具，可以将其引入到电力信号动态相量的表示中。通常情况下，信号的基波分量变化相对缓慢，对于tn时刻的动态相量p（tn）可以通过K阶泰勒级数展开式来近似求解。

式中：n为不同采样点；Nh为最后一次采样；T为泰勒时间间隔；Δ为泰勒级数误差；K为动态信号用泰勒级数表示的最高阶次，K取值越大，p（tn）越接近于真实值。但K越大，运算量越大，算法所需时间越长，会加大噪声对算法的影响。

将式（4）代入式（1），借助欧拉公式可以得到泰勒级数展开后的电力系统动态信号模型为

式中：(·)*为共轭。

1.2 基于动态模型的同步相量测量算法

考虑到计算速度和存储容量等方面的限制，对于连续信号只能从中截取有限时长的样本加以处理。信号截短由于不能完全反映原信号的频率特性必然会对数据处理结果造成影响。因此窗函数的选取对于改善频谱泄漏和栅栏效应对离散频谱分析的影响非常重要。

假设信号在采样周期T0=1/f0内的采样数为N0，则在泰勒时间间隔T内的采样数N=[(T/T0)N0]，[·]表示就近取奇。如果t=0 时也进行采样，则N=2Nh+1。令第l 次采样窗的中心位置作为参考时刻，以采样频率（fs=Nf0）对式（4）进行离散化处理，可得信号的离散序列为

式中：ω0=2π/T0为参考角频率；p为动态偏差因子；pk与动态相量的导数有关，为

此时，信号误差和相量估计值误差分别为

式中：σ为信号误差为相量的估计偏差；y为y（n）构成的列矩阵，为

由于式（8）得到的误差较大，考虑到泰勒误差与Δt的取值有关，Δt越小，泰勒误差越小。因此，可以通过对采样区间进行加窗处理来有效减小测量误差，则式（9）可以写为：

式中：w(n)为所加窗的时域表示形式；W为时域窗的连续频谱。选取的窗函数为汉宁窗，汉宁窗的时域函数表达式为

加窗后的信号为

经加窗处理后，利用TWLS法得到tn时刻的动态相量估计值为

通过上述方法可以进一步计算出与相量相关的参数，如频偏（Frequency Deviation，FD）FD和频率变化率（Rate of Change of Frequency，ROCOF）ROCOF，性能评价指标：相量总误差（Total Vector Error，TVE）TVE、频率误差（Frequency Error，FE）FE和频率变化率误差（Rate of Change of Frequency Error，RFE）RFE。

1.3 动态算法的实现

在IpDFT 的基础上提出一种TWLS 动态相量测量算法，提高了动态测量精度，并结合同步相量测量标准分析了算法的性能，TWLS 算法的流程如图1所示。

图1 TWLS算法的实现流程

利用TWLS 进行相量的动态估计可分为两步：首先，通过IpDFT 对信号频率进行初始估计，其值作为TWLS 中的参考频率；最后，利用TWLS 法消除动态信号和相量中的干扰，达到提高测量精度的目的。对频率估计时，对频率进行四舍五入取整。以上算法称为TWLS-IpDFT法。

1.4 算法的具体步骤

TWLS-IpDFT算法的具体步骤为：

1）对信号y(n)的J个波形周期进行N次采样，n=0，1，…，N-1，其中N=Jfs/50+1。

2）对信号进行加窗处理yw(n)=y(n)w(n)，其中w(n)为汉宁窗。

4）去除二次谐波后，确定新的信号y1(n)。

采用汉宁采样时，数据窗J至少等于3 才能保证IpDFT 对频率的估计足够精确。此条件在实际工程中并不影响估计性能，因为该算法频率变化的鲁棒性要比相量变化的鲁棒性差。

2 仿真分析

2.1 窗函数的选取

频谱泄漏现象与窗函数谱的旁瓣有关，如果旁瓣的幅度趋于零，使能量相对集中在主瓣，就能得到与真实值较为接近的频谱。工程中常用的窗函数有：矩形窗、海明窗、布莱克窗和汉宁窗等［19-20］。窗函数为100时，汉宁窗的频域仿真分析如图2所示。

图2 窗函数为100时汉宁窗的频域分析

窗函数的选取原则是：窗谱主瓣要窄而高，从而提高分辨率；旁瓣幅度要小，从而减小频谱的泄露。

考虑到旁瓣的衰减程度越大能量泄露越小，且主瓣和旁瓣、旁瓣与旁瓣间的干涉影响越小，再结合电力信号带宽窄、干扰强的特点，选用旁瓣幅度较小、衰减程度较大的汉宁窗采样较为合适。

2.2 性能评价标准

IEEE C37.118.1—2011 中规定了同步相量测量的测试标准：TVE、FE、RFE。通过以上标准检查相量测量算法的时间同步性和相量计算误差［14］。TVE、FE、RFE的定义分别为

式中：Xr(n)、Xi(n)分别为相量真实值的实部和虚部；Xr和Xi分别为相量测量值的实部和虚部；ftrue为频率真实值；fmeasured为测量值；Δfmeasured为频偏的测量值；Δftrue为频偏的真实值。

2.3 仿真条件

利用MATLAB 对算法的性能进行全面测试分析，通过仿真数据对上述算法进行验证，并利用相量测量装置验证算法在实际系统中应用的可行性。与传统DFT 法进行比较，分别对幅值调制、谐波影响、信号突变3 个重要指标下的稳态性能和阶跃响应下的动态性能作重点分析。仿真中，采样频率为10 kHz，汉宁采样数据窗为两个波形周期（在工频下每个数据窗的采样数为400）。

通过选取合适的泰勒级数展开项K，在保证测量速度的同时增加了测量精度，由表1 仿真结果可见，当K=8时，测量结果的精度可满足要求。

表1 K=8时，TWLS-IpDFT法的同步相量测量精度

2.4 TWLS-IpDFT算法的性能分析

2.4.1 突变等动态过程的仿真分析

为测试TWLS-IpDFT 算法对突变等动态过程的响应性能，在t=20 ms时对输入信号施加90°的相角阶跃信号，并与传统的DFT 法进行比较，各算法的阶跃相应仿真曲线如图3 所示。测试信号为

图3 动态响应曲线

信号的初始相角ϕ(t)为π6，参考频率f0取IpDFT 中计算得到的加窗信号频率值。由图3可知，TWLS-IpDFT 算法的动态响应效果较好，比传统的DFT 算法有着更好的相角测量精度，且跟踪效果较好。这是由于传统的算法把工频作为参考频率对相量进行测量，其动态测量效果不佳；TWLS-IpDFT 法通过IpDFT 对信号频率进行初始估计，将估计值作为参考频率，并选取汉宁窗作为窗函数，使得该算法动态测量效果较好。

2.4.2 幅值和相位调制对算法精度的影响

1）幅值调制。

系统正常运行时频偏为0.1～0.2 Hz，且规定系统故障时频偏应尽快恢复到±0.5 Hz 以内。因此，信号的参考频率f0分别取49.5 Hz、50.5 Hz。调制频率ft在0.1～3 Hz 内连续变化，调制幅值为10%的基波幅值。对频率振荡时波峰、波谷时刻的基波幅值误差和全时段的最大相角误差进行仿真，仿真结果如图4所示。被测信号为

图4 幅值调制下TWLS-IpDFT法的幅值和相角误差

由图4 可知，结合标准IEEE StdC37.118.1—2011：波峰幅值误差＜0.2%，波谷幅值误差＜0.2%，最大相角误差＜0.5°，最大TVE＜1%［14］，当信号发生低频振荡时，TWLS-IpDFT法对同步相量仍能进行精确的计算，当调制频率增加时，测量误差有所增加，但仍保持在标准规定范围以内。表2 为TWLS-IpDFT 法在信号幅值调制下的最大测量误差。

表2 TWLS-IpDFT法在幅值调制下的最大误差

2）相位调制。

相位调制情况下的被测信号设为

式中：ω为角速度；h为同步采样数；φ为初相位。

相位调制幅值为0.1 rad，调制频率为0.1～3 Hz，采样频率为5 400 Hz，初始相位设为π/3，h取1 024。对参考频率分别为49.5 Hz，50 Hz，50.5 Hz 的3 种信号进行仿真测试，测量误差如图5 所示。根据标准中规定的TVE应在1%以内，最大FE为0.3 Hz，最大RFE为10 Hz/s，结合图5 可知，TWLS-IpDFT 的测量误差随调制频率的增加而显著增加，但误差比较小，能够满足上述标准的要求。

图5 相位调制下TWLS-IpDFT 法的最大TVE、FE、RFE

2.4.3 谐波和噪声抑制分析

1）谐波分析。

对电压、电流信号注入谐波，被测信号为

对信号的相量幅值、相角误差和频率误差进行仿真，仿真结果如图6所示。

图6 谐波干扰下TWLS-IpDFT法的幅值、相角和频率误差仿真

由图6 可知，TWLS-IpDFT 法和DFT 法都受谐波的影响较大，且DFT 法不能很好地满足TVE误差要求，而TWLS-IpDFT 法测量精度更高，在保持跟踪速度的同时对信号的跟踪精度也比较高。通过对比可知，所提方法在谐波影响方面要优于传统方法。表3为谐波影响下的最大误差分析。

表3 谐波影响下的最大误差

2）噪声分析。

考虑白噪声对TWLS-IpDFT 法的影响。当式（27）中的信号加入白噪声b(t)时，其分布特性为N（0，0.0012），同样使用上述两种算法对信号进行测量，得到的TVE值如图7所示。

图7 噪声干扰下的TVE误差

2.4.4 频率偏移仿真分析

在动态模型（1）中取幅值为1，参考频率f0=50 Hz 的信号进行频偏对算法测量精度的仿真分析，频偏的范围为-3～3Hz，信号表达式为

式中：p(t)为待测相量。频偏(f-f0)分别取不同值时，对DFT 法和TWLS-IpDFT 法的相量测量结果进行比较，包括幅值、相角误差及TVE值，仿真结果如图8所示。

图8 频率偏移下的幅值、相角误差及TVE值

由图8 可知，随频偏的增加，两种算法的测量误差也随之增大，但TWLS-IpDFT法的测量误差相对较小，而DFT法的误差增加较明显。TWLS-IpDFT法幅值、相角及TVE误差的波动性及总量都远远小于DFT法，虽然随着频率偏移的增大，算法的测量精度有所降低，但仍在标准规定范围内。

3 结语

提出了一种配电网μPMU 相量和频率测量的动态测量方法，利用汉宁窗对动态信号进行加窗处理，并对J个波形周期进行采样，提高了算法的动态特性，减少了运算量。

将IpDFT 法计算出加窗信号的频率值作为算法的参考频率，计算出二次谐波的幅值和相角，得到去除二次谐波后的加窗信号，从而提高相量和频率的测量精度。

利用TWLS-IpDFT 法对相量的幅值、相位，相量总误差、频率误差和频率变化率误差进行估计，通过对突变状态、调制、频率偏移、谐波影响方面的仿真分析，结合同步测量标准，并与传统的DFT 法进行对比，表明该算法对相量、频率的测量精度和计算速度有一定的提高，能满足在线计算的要求，具有一定的实用性。

综合以上分析，所提出的TWLS-IpDFT法能够基本满足配电网动态同步相量测量的要求。该算法的测量精度高，运算量小，对之前μPMU 装置的改进具有指导作用，对配电网的实时动态监测具有重要意义。后续将对原有装置进行改进，研制一种成熟的适合配电网的高精度μPMU。