支霞

（山西警察学院 网络安全保卫系，山西 太原 030401）

0 引言

无穷维执行动态补偿近年来越来越受到人们的关注。偏微分方程的Backstepping 变换是处理无穷维动态补偿的有力工具之一。时滞本质上是一个由一阶传播方程决定的无穷维动态。在文献［1］中，作者将时滞问题转化为一阶双曲系统的边界镇定问题，并且利用偏微分方程的Backstepping 变换解决了任意大输入时滞的补偿问题。该方法还可以被用来处理热方程动态补偿［2］，波方程动态补偿［3］，以及薛定谔方程动态补偿［4］等。

本文考虑波方程的执行动态补偿问题。问题由如下串联系统描述：

其中A∈Rn×n常微分方程的系统矩阵，X是系统状态，(w，wt)是执行动态的状态，u是控制输入，B∈Rn×1是常微分方程和波动方程之间的连接矩阵。我们的控制目标是：设计控制器u通过波动方程系统来镇定X系统。由于控制作用只能通过波方程间接地施加到控制系统上，因此如何补偿波动方程所描述的执行动态就成为控制问题的难点。

系统（1）的镇定问题曾在文献［5］中有深入的研究。用到的方法是偏微分方程的Backstepping 变换法。 与Backstepping 变换法不同，本文提出一种针对常微分方程的变换法。该方法受文献［6］的启发，其优点在于变换的核函数是一个常微分方程，因此核函数的解析表达式可以求出。这样可以大大地减少计算量，从而可以更直观地设计控制器。

如果A的特征值全在左半复平面，则A决定的系统已经稳定，从而无须再施加控制。因此我们总假设矩阵A满足：