高云峰

(清华大学航天航空学院,北京100084)

一般来说，在理论力学的动力学教学中，绝大部分问题都只需要学生会受力分析、列写动力学方程，并不要求进一步求出具体的运动[1]。原因之一是绝大部分问题没有解析解，用传统数学方法不好解；原因之二是学时限制，没有更多时间教学生如何求解。

随着计算软件的发展，目前已经可以很轻松地求出动力学方程的解，包括运动和力随时间的变化关系，也可以很容易在屏幕上进行动画演示。

本篇先从动力学中最简单的单摆问题开始介绍：单摆的动力学方程如何求解？数值解的精度如何？大角度情况下周期如何变化？然后介绍椭圆摆的相关问题。

1 单摆的相关问题[2]

案例1：假设单摆中小球A质量为m，尺寸不计，绳子OA长度为l，不计质量(图1)。试比较不同初始角度对运动的影响，以及如何证明计算的结果可靠？

图1 单摆模型

单摆运动时，根据其受力图(图2)，可以在切向方向列写系统的动力学方程，为

图2 单摆的受力图

虽然方程(1)在线性化时有解析解，但是大角度时比较复杂。但在Matlab中，可以直接调用ode45函数统一求解这类常微分方程，其格式是[3]

其中黑体是固定的格式，斜体是变量或自己命名的函数。其中options是积分的选项，可以控制积分的精度，′RelTol′表示积分中的相对误差，′AbsTol′是积分中的绝对误差。在Matlab数值积分计算中，通常number1和number2可以选为10−8∼10−10(精度太高会花费更多计算时间，也没有必要),如果省略则默认为10−3。ode45函数则是求解常微分方程的一种常用函数，其中[t,y]是积分的时间和结果；……