杨 艺，陈 涛※，陈 辉

（1.北京工业大学激光工程研究院，北京 100124；2.北京保利微芯科技有限公司，北京 101318）

0 引言

随着无线医用电子器件的不断发展进步，医疗、通信和电子技术的集成越来越紧密。无线医疗设备如神经刺激器和无线胶囊内窥镜等已经在临床实践中被广泛使用[1]。对于跨皮植入式无线医疗电子设备来说，有效的能量供应和高效的信号传输一直都是关键问题。与传统用电池供电和有线传输方式进行信号传输相比，无线传输系统具有许多优点，例如供电方便、安全可靠、不易被感染等[2]。在信号能量无线传输系统中，信号和能量的传输是通过在体外的发射线圈和植于体内的接收线圈之间的电磁感应耦合直接实现的。线圈的结构设计会对无线传输系统的功率和效率产生直接影响，所以在设计过程中需要考虑线圈的尺寸、线圈半径、线圈匝数和线圈距离等因素。但在现有的仿真研究中，尚未计算出线圈的具体尺寸和轴向间距，从而给线圈的设计制作造成一定困难。

鉴于上述问题，本文研究了单个线圈的磁感应强度和组合线圈的耦合系数，通过Matlab 和Comsol 有限元多物理场仿真分析了线圈的各个参数对磁场和耦合系数的影响，并通过遗传算法求得了线圈半径和轴向间距的最优解，为实际应用提供了有益参考。

1 线圈形状的选择

现阶段常用的磁感应线圈形状为矩形框线圈、圆形线圈和不规则图形线圈（常见正六边形）[3]。若发射线圈和接收线圈分别用N1、N2匝细线密绕，则两个线圈之间的互感值M 以磁场量纲的形式表示为：

式中：B 为空间内的磁感应强度；S 为线圈所围成的曲面面积；I为激励电流量。

由式（1）能够得出：线圈的互感值M 由磁通量Φ决定。假设发射线圈和接收线圈采用相同的形状和线圈匝数，利用Comsol对这3种不同形状的线圈进行模拟仿真，分别对发射线圈和接收线圈上的电流进行参数化扫描，设置电流参数值如表1所示。

表1 通过线圈的电流值Table.1 Current value through the coil

对其进行全局计算得到响应的电感L1、L2、L12，互感通过耦合系数公式分别计算出3 种线圈在不同面积时的耦合系数，导入Origin 中，得到不同形状线圈在相同面积下的耦合系数对比图，如图1所示。其中，横轴面积S 表示单匝线圈所围成的总面积，纵轴表示线圈间的耦合程度。由图可知，相同面积的3 种不同形状的线圈，圆形线圈的耦合程度比其他绕线形状的耦合程度好。

图1 不同线圈形状的耦合系数随面积变化对比Fig.1 Comparison of the coupling coefficient of different coil shapes with area changes

2 线圈缠绕方式的选择

磁通密度通常表示垂直穿过单位面积的磁力线的多少。其从数量上反映磁力线的疏密程度。磁场的强弱，通常用磁感应强度B来表示，B的数值越大，磁力线就越密。

对两种匝数相同、半径大致相同的线圈通相同的电流量进行有限元物理仿真，得到两种不同绕线方式的磁通密度，如图2 所示。由图中的图例进行局域比较，在相同颜色区域，螺旋管结构图例示数大，因此所产生的磁通密度模更大。

图2 两种绕线方式的磁通模密度模Fig.2 The magnetic flux density model of the two winding methods

3 线圈的电磁分析

信号经过发射线圈，在发射线圈中的交变电流会产生一个变化的磁场。磁场是集中在线圈表面的，线圈周围磁场较为密集，远离线圈一部分磁场比较小。描述磁场的一个基本的物理量就是磁感应强度。毕奥－萨法尔定律[4－5]指出，任一电流元在空间任一点P处产生的磁感应强度为：

3.1 轴向距离和线圈半径与磁感应强度的关系

载流圆线圈的磁场强度计算如图3所示。

图3 载流圆线圈的磁场强度计算Fig.3 Schematic diagram of magnetic field strength calculation of current－carrying circular coil

取圆柱坐标系，场点和源点坐标分别为（0,0,z）、（α,Φ,0）。电流源应用毕奥－萨伐尔定律[4－5]，考虑到与其对称位置（α,－Φ,0）处电流元产生的B 矢量在xoy平面的分量抵消，只剩下ez方向的分量，因此：

积分可得轴向磁感应强度为：

由叠加定理得到的N匝线圈的磁场强度为：

式中：N 为线圈的匝数；I 为经过线圈的电流；a 为线圈半径；z为沿线圈z轴方向任意一点P到线圈中心的距离。

由式（4）可知，在维持N＝10和I＝1 A不变的情况下，磁感应强度B与线圈半径a和轴向距离z有关。作出线圈间轴向间距分别为1 cm、2 cm、3 cm、4 cm、5 cm 时线圈半径a 在0～10 cm的范围内与磁感应强度B的关系曲线，如图4所示。

图4 磁感应强度与线圈半径的关系曲线Fig.4 The relationship curve between magnetic induction intensity and coil radius

由图可以看出，在线圈半径相同的情况下，线圈的磁感应强度随着线圈间轴向间距的减小而增大。对于不同的轴向间距z，随着线圈半径的增大，磁感应强度呈现先增长后衰减的趋势，存在着最佳线圈半径a使得磁感应强度最大。为了获得最佳线圈半径，需要对式（4）求导即可。即：

3.2 线圈匝数与磁场强度的关系

由式（4）可知，线圈匝数N 与磁感应强度成正比关系，但匝数过多也会使线圈整体体积增大，不利于线圈的植入，所以在设计线圈时要合理考虑线圈匝数。

4 线圈间的耦合

对两个线圈进行Comsol 有限元仿真观察线圈间的耦合程度，通过仿真得到的磁通密度模图，如图5所示。可知，两个线圈互相靠近会存在耦合，且磁场分布会受到线圈大小和位置的影响。

图5 线圈间的磁通密度模图Fig.5 The magnetic flux density model between the coils

线圈间的耦合程度，直接决定了信号与能量无线传输的效率和功率。两个线圈耦合的紧密程度可以用耦合系数k来表示（0≤k≤1），则有：

式中：M为两个线圈之间的互感系数；L1、L2分别为2个线圈的自感系数。

k＝0表示由于线圈间距离太远或电磁屏蔽导致线圈间相互独立，不互耦；k＝1则表示所有的变化磁通量都被接收线圈接收到时的全耦合。当接收线圈接收到越多的磁通量时，耦合强度越高。在影响线圈耦合程度的诸多因素中，发射线圈和接收线圈的形状和线圈之间的角度关系可以影响到k 值，线圈间的正对面积和线圈间距也是一个影响很大的因素。

4.1 线圈间的互感

共轴载流圆线圈互感系数求解[6－7]如图6所示。

图6 共轴载流圆线圈互感系数求解]Fig.6 Schematic diagram of solving mutual inductance of coaxial current－carrying circular coil

设两个平行且同轴圆线圈的半径分别为a1、a2；线圈匝数分别为N1、N2；圆心距离为是在l1、l2两线圈环路上任取的两线元；θ是以极坐标描述时两线元所在位置的夹角，可知之间的夹角[8]由纽曼公式得：

4.2 不同发射线圈和接收线圈半径对互感的影响

为了研究两个线圈的半径对互感系数的影响[9]，对式（9）进行公式变换改写为：

令N1＝N2＝1，用Matlab分别绘制互感M关于线圈轴向距离与接收线圈半径比的关系曲线和发射线圈与接收线圈半径比的关系曲线，如图7所示。由图可以得到以下结论，当线圈间的轴向距离一定，发射线圈与接收线圈的半径相同时，此时线圈间的互感系数最大。

4.3 线圈的径向偏移对互感的影响

在图7 的基础上，对于有径向偏移的线圈，偏移距离为L，则[10]：

用Comsol 有限元仿真对2 个半径均为3 cm 的线圈进行仿真，分别改变线圈间的纵向间距，得到线圈在不同水平错位情况下的自感系数及互感系数，通过公式得到线圈在不同纵向间距下耦合系数与水平间距的关系，如图8所示。

图8 线圈间耦合系数随径向偏移的变化Fig.8 Variation of the coupling coefficient between coils with radial offset

由于线圈本身不变，线圈所产生的自感L1、L2不变，线圈的径向间距对耦合系数的影响相当于对互感系数的影响。由图8可知，在相同径向偏移情况下，线圈的耦合系数随线圈间纵向间距的减小而增大；线圈在上下对齐时耦合系数最大，水平移动会导致耦合系数k急剧减小。所以在设计时发射线圈和接收线圈需要准确地对齐以降低损耗。

耦合程度取决于接收线圈接收到的有效磁场的大小还有线圈间的轴向间距，假设发射线圈与接收线圈平行且共轴，线圈间轴向间距越小，那么传输效率越大。

5 基于遗传算法的线圈优化

在设计线圈时，为了近似得到线圈的尺寸，获得最优的磁感应强度，因此有必要在有限尺寸下对其进行优化。

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）[11]作为一种高效率、并行处理、全局搜寻的优化算法，在数学计算中用于求解最佳化，能自适应地调整搜索方向，利用概率寻优的方法求得最优解。由于在许多复杂情况下想要完全精准地获得最优解是不实际的，因此算出其近似最优解或满意解则成为现阶段研究的主要问题[12－14]。

5.1 线圈优化数学模型

通过在Matlab 中编写基于遗传算法的程序，用Matlab 做编译器以及可视化，得到最优磁场，根据磁感应强度的公式，主要考虑的线圈结构参数有线圈的半径和线圈匝数，数学模型如下[15－16]。

（1）针对线圈优化设计

其中，u0＝4π×10－7（H/m）为真空中的磁导率，假设激励电流量I＝1 A，线圈匝数N＝10。

（2）根据实际设计问题选择决策变量

选取线圈半径a和线圈间距离z作为设计变量，并以下式表示：

考虑到线圈体积的因素，皮肤组织的厚度在4～5 mm，给出决策变量的约束条件为0 ＜x1＜5 cm，1 cm＜x2＜50 cm 。将决策变量代入式（12）中得到目标函数的表达式为

（3）算法具体步骤

步骤一：画出函数图后进行算法的初始定义，生成以二进制或者格雷码编码形式的随机数，设初始种群的数量N＝100，通过适应度函数评估这些初始点。

步骤二：开始迭代，若个体不满足条件，依据每个个体的适应值大小进行选择，适应值高的个体传到下一代的概率大，从而不断缩小最优个体的范围；若满足条件则迭代终止。

步骤三：在选择出来的个体中，模拟生物的同源染色体交配重组的过程，个体随机配对，交换部分基因，根据交叉互换的结果，更新种群的基因。选取交叉概率Pc＝0.7。

步骤四：在迭代过程中得到了一些子组，在个体配对过程中有的会产生部分变异并更新种群，变异的概率很小但又是存在的，选取变异概率Pm＝0.01。

步骤五：重复上述“遗传复遗传”的步骤，直到算法收敛，输出结果。

5.2 Matlab 函数调用实现

将寻优代码输入到Matlab 中，其参数设置相同，即种群大小N＝100，代沟GGAP＝0.95，最大二进制位数PRECI＝20，交叉概率Pc＝0.7，变异概率Pm＝0.01，选择方式为轮盘赌，编码方式为标准二进制编码，得到种群的状态位置变化过程以及迭代10次、50次、100次和1 000次的种群进化过程，如图9所示。

图9 种群进化过程Fig.9 Population evolution process

在Matlab 命令窗口中得到电磁线圈的最优解，如表2 所示。由表中的数据可知，当遗传代数大于100时，优化解趋于稳定，可认为此时的解为最优解，且线圈半径近似等于线圈间轴向距离的倍，符合式（5）论证。

表2 电磁线圈最优解Table.2 Optimal solution of electromagnetic coil

6 结束语

本文对无线数据能量传输系统线圈间的磁感应强度和互感系数进行了公式推导和分析，具体的结论如下。

（1）设计线圈时圆形螺旋线圈能获得更大的磁感应强度，且磁感应强度随线圈匝数的增多而增大，但需要考虑线圈整体体积的大小。

（2）由毕奥－萨法尔定理推导出了线圈磁感应强度B与线圈半径和线圈间轴向距离的关系式，并分别进行了研究。在线圈半径相同的情况下，线圈的磁感应强度随着线圈间轴向间距的减小而增大。对于不同的轴向间距z，随着线圈半径的增大，磁感应强度呈现先增长后衰减的趋势，且线圈的最佳半径为线圈间轴向间距值的倍。

（3）由纽曼公式推导出线圈间互感系数M 的表达式，并对发射线圈和接收线圈的半径比和偏移量对互感的影响进行了研究。当发射线圈和接收线圈半径近似相等且共轴平行放置时，更有利于提高耦合效果。

（4）以提高磁感应强度为目标进行了遗传算法和有限元模拟仿真的优化，当线圈半径为1.414 cm，线圈轴向间距为1 cm 时，可以得到最优磁感应强度。模拟仿真结果与理论计算基本一致，验证了该方法的可行性与正确性。