屈改珠

（渭南师范学院数学与统计学院，陕西渭南 714099）

0 引 言

不变子空间方法是同条件Lie-Bäcklund对称方法相关的一种方法，已被成功用于非线性偏微分方程（组）的分类和对称约化［1-3］.事实上研究非线性微分算子允许的不变子空间，也是不变子空间方法中的重要理论问题之一.文献［3-6］分别对一阶非线性微分算子和二阶非线性微分算子的不变子空间作了讨论.Galationov［3］曾经针对二阶常系数平方算子的不变子空间做了讨论，随后，又与Svirshchevskii［4］完成了二阶非线性微分算子允许的最大维不变子空间是5的证明，同时讨论了常系数二阶平方算子、常系数二阶立方算子的不变子空间，包括多项式型（三角函数型、指数型）不变子空间；并且指出经过变量变换，一阶非线性微分算子F(x，y，y′)允许的全部最大维不变子空间都能够表示出来，但是二阶非线性微分算子F(x，y，y′，y″)允许的全部最大维不变子空间未能解决；Zhu［6］证明了允许次于最大维（四维）的二阶非线性微分算子中包含有三次非线性项，其结构为

这里Fijk，i，j，k=0，1，2，3都是x的函数，同时，作者也讨论了具有常系数的二阶三次非线性微分算子在四维不变子空间的分类.

本文将利用不变子空间方法，考虑三次非线性微分算子F3的一种特殊形式，即一类变系数三次非线性微分算子

式中A(x)、B(x)都为x的任意函数.

1 预备知识

不变子空间方法简介［3-11］.

非线性演化方程为

式中F[u]是一个k阶非线性微分算子，并且充分光滑.如果算子F满足F[Wn]⊆Wn，则称n维线性子空间Wn在算子F作……