贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

近期，在高三复习课过程中,笔者多次见到与2017年清华大学能力测试第12题同类型的试题，呈现形式多以选择题或填空题为主.我尝试着用此题训练所教的学生，效果极不理想，很多同学几乎没有任何头绪.这种现象引起了笔者的关注，并由此展开了对此题解法的探究，以期达到抛砖引玉的效果.

一、题目呈现

题目(2017年清华大学能力测试第12题)已知实数x,y满足5x2-y2-4xy=5，则2x2+y2的最小值为( ).

二、总体分析

这道题条件看似简单，在二元二次的条件下求二次目标函数的最值，但从学生实际解答来看，想要得出正确的结果并不容易.很多同学由于不得要领，一头雾水，不知从何处着手解答此题.事实上,此题解答的方法有很多种.例如采用配方法，借助三角换元来解决，这是最常规的方法；仔细分析此题，发现等式的左边可以进行因式分解，而且可以分解成两个一次因式的积的形式，也可以以此作为解题的突破口；对于这类题，判别式法也是一个常见方法.下面我们从不同的视角来探究此题.

三、解法探究

视角1 依托配方法和三角换元作答.

整理,得(25z+33)t2+40t+50-25z=0.

评注通过以上求解过程不难看出，运算过程相当繁琐，计算量大.分析此题发现，将已知条件左边进行配方可得平方差关系，这种形式对于一般学生，三角换元不易实现(超出了课程标准，本质是不作要求的同角三角函数平方关系)，而且计算过程相当繁琐.因此，我们需要另辟蹊……