李 宁

(海南省海南中学 571158)

一、问题再现

在2020年“停课不停学”期间，笔者通过网络平台给学生布置的作业中有这样一道题目：

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为( ).

二、从通性通法角度解答

学生未必都能了解阿基米德三角形的性质，比如参考答案直接说∠Q为直角，就显得莫名其妙.可以着眼于求三角形面积最值的通性通法去思考.

与抛物线方程联立，得y2-2y0y-p2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=2y0，y1y2=-p2.

解法2 (根据陈英昊、姚正宇等同学的解答整理)

与抛物线方程联立，得y2-2pmy-p2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=2pm，y1y2=-p2.

三、研究性质用性质

对于抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点F，弦AB中点为M，此时的△ABQ为阿基米德焦点三角形.下面研究相关性质.

性质1 阿基米德焦点三角形的顶点Q在抛物线的准线上.

性质2 阿基米德焦点三角形底边AB上的中线与抛物线的对称轴平行或重合.

由性质2可以把解法2后半部分做一点改进：

性质3 在阿基米德焦点三角形QAB中，QA⊥QB，QF⊥AB.

由性质1和性质3，可以从几何上思考这道作业题.

图1

解法4 (根据潘逸声同学的解答整理)过点A,B分别向准线引垂线，垂足为点D,E.由点B向AD引垂线，垂足为点C，准线与x轴交点为点G.

在Rt△ADQ和Rt△AFQ中，AQ为公共斜边，|AD|=|AF|，从而|DQ|=|QF|.

同理，|EQ|=|QF|.

点评如果熟悉性质，解决这道作业题还是挺轻松的，如解法3.但是如果是解答题，还是需要严格论证，掌……