蔡武晋 边 慎 赵雷嘎

(1.北京化工大学 数理学院， 北京 100029； 2.北京工商大学 数学与统计学院， 北京 100048)

引 言

本文研究非齐次Schrödinger- Poisson系统

(1)

式中V(x)和φ(x)分别表示有效势和电势。系统(1)首先在文献[1]中被提出，用于描述三维空间中与静电场相互作用的非线性Schrödinger方程的驻波，f(u)用于模拟多个粒子间的相互作用，g(x)为非齐次扰动。

近年来，在对非线性项和位势条件进行的各种假设下，系统(1)受到广泛研究[2-10]。文献[2]、[4]的研究表明，f(u)关于u的增长阶p的范围会对泛函的紧性和解的存在性产生影响。

当位势函数为常数时，Ruiz[4]研究了带有参数的一类自治Schrödinger- Poisson方程

式中，λ>0,2

本文对一般的非线性项f(u)以及位势函数V(x),研究系统(1)解的存在性和多解性。特别地，允许f(u)的增长性包含3

1 定理的提出

设势函数V(x)∈C(R3,R)满足：

(V1)V(x)=V(|x|)；

其中(·,·)表示R3的内积。

设g(x)∈C1(R3,R)∩L2(R3,R)为非负函数，满足：

(g1)g(x)=g(|x|)≢0；

这里(V1)和(g1)为函数满足径向对称的条件。

对非线性项f(u)∈C(R,R),设

(f1)f(0)=f′(0)=0；

(f2) ∃C>0，使得|f(u)|≤C(|u|+|u|p), ∀u∈R,其中p∈(2,5)；

本文的主要结果是如下定理。

定理1设(V1)～(V3)、(f1)～(f3)和(g1)～(g2)成立，则存在Cp>0，当‖g‖2

进一步对非线性项f(u)，设

(f4)f(-u)=-f(u),∀u∈R；

(f5) ∃θ>4，使得0≤θF(u)≤uf(u),∀u∈R。

定理2设(V4)、(f1)～(f2)和(f4)～(f5)成立，则对任意的g(x)∈L2(R3)，系统(1)在HV×D中存在无穷多解。

本文利用变分法进行证明。由于p的范围会对泛函的几何结构和紧性条件产生影响，当3

2 变分框架及预备引理

首先将系统(1)转化为单个方程[4]。对任意的u∈H1(R3)，可得到方程-Δφ=u2在空间D1,2(R3)中的唯一解φu，此解可表示为

将φu带入到系统(1)的第一个方程，得

-Δu+V(x)u+φu(x)u=f(u)+g(x)

于是定义变分泛函为I：H→R

(2)

根据文献[1]中的命题4，易证I∈C1(E,R)和(u,φ)∈H×D是方程(1)的解当且仅当u∈H是I的临界点，且φ=φu。引理1收集了φu的一些性质[4]。

引理1

(Ⅰ)对任意的u∈H，φu(x)≥0,x∈R3；

(Ⅲ)对t>0，有φvt(x)=t2φv(tx)，其中vt(x)=t2v(tx)；

(Ⅳ)若在H中un⇀u，则在D中φun→φu。