吴连大 张明江

(1 中国科学院紫金山天文台南京 210023)

(2 中国科学院空间目标与碎片观测重点实验室南京 210023)

1 Hansen系数的基本递推公式

2 Hansen系数递推的分类

利用递推公式(R1)–(R3),可以进行n递推;利用递推公式(R4),可以进行m递推.利用递推公式(R1)–(R3)进行n向前递推,需要辅助递推.

举个例子,考察下列递推过程:

综上所述,利用递推公式(R1)–(R4),可以实行的递推,如表1所示.由表1可知,这里没有普通Hansen系数的一行初值向后递推公式,也缺少偏心率函数的向前递推的辅助递推公式.

表1 4种基本递推可以实行的递推Table 1 The recursions implemented by four basic recursion formulae

3 基本递推公式的补充

3.1 普通Hansen系数的一行初值向后递推公式

利用基本递推公式(R1)和(R2),不难推导出普通Hansen系数的一行初值向后递推公式,具体推导方法如下:

此即我们需要的普通Hansen系数的一行初值向后递推公式.

递推公式(R5)为连续3推1方式,向后递推.它的另一个用处是:可以将不是偏心率函数的Hansen系数,表达成3个偏心率函数的组合.

3.2 偏心率函数向前递推需要的辅助递推公式

偏心率函数向前递推,一般采用递推公式(R1)和(R3)进行递推.考察如下向前递推过程:

其中,未被划去的函数均是偏心率函数,我们希望递推均在这些函数中进行.从已知的初值(第1、第2行),递推到第3行,中间的偏心率函数均可递推处理.但是,两头的递推不出来,这时需要补充新的递推公式.

对于普通的Hansen系数(包括上述递推中的所有函数),可以利用递推公式(R4)进行递推.但是,对于偏心率函数,在一行中是不连续的,偏心率……