于 翔¹，曹明辉²，谭建平¹

（1、长沙理工大学土木工程学院 长沙410114；2、中国建筑第五工程局有限公司 长沙410004）

0 概述

结构的变形是一个动态的平衡过程，结构实际发生的大转动、大变形效应，使得结构变形不能单纯依靠线性方程进行求解，需在几何方程中添加位移二次项式。一部分学者通过龄期调整有效模量法将混凝土的徐变效应与混凝土弹性模量相结合，以此考虑结构几何非线性与徐变效应［1］。该法在短期徐变分析中精度较高，考虑结构荷载长期作用下徐变效应时就存在较为明显的误差，而且几何非线性的变形与徐变变形应当是互相影响，不断迭代，最后达到动态平衡的过程，如果将其作为一个整体来分析计算，则会产生相应偏差［2］。另一部分学者通过推导考虑几何非线性的结构变形平衡方程，自编程序对其进行分析，在计算精度与效率方面较为符合工程需要［3］。

1 平面梁单元几何非线性理论

杆单元在不同时刻的变形可以用图1 表示，其中XY为全局结构坐标系，指向始终一致。引入共旋坐标系作为局部的单元坐标系，该坐标系随时刻发生的变形而改变，并且始终以单元i节点指向j节点为x轴，y轴为x轴逆时针旋转90°而成［4-7］。

初始时刻单元在全局坐标系中坐标分别为（xi，yi）和（xj，yj），计算时刻t梁单元总位移在全局坐标系中表示为d=［ui vi θ i uj vj θ j］T，共旋坐标系下的单元坐标系中表示为dl=［ui'vi'θi'uj'vj'θj'］T。其中u、v、θ分别表示节点水平位移、竖向位移、转角位移。单元变形前后情况如图1所示。

图1 不同时刻梁单元Fig.1 Beam Element at Different Time