曾光

伟大数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”从这里我们可以看出，数形结合对于研究数学问题有着非常重要的作用. 新高考改革也强调要掌握好数形结合思想. 下面我们来看看其在高考中的应用.

【类型一】数形结合在向量问题中的应用

【例1】设 ， 为单位向量，且 + =1，则 - =______.

【分析】向量是矢量，既有大小也有方向，非常适合用数形结合思想研究相关问题. 题中 ， 为单位向量，其长度为1，但是不知道它们的夹角大小. 由 + =1可知它们的和的模为1，通过图形关系，可以求它们的差的模.

【解析】由图1可知， = + ， = =1， = ，因为三角形△OAM为直角三角形，AM= ，所以AB= ，即 - = .

【小结】数形结合思想能够快速地解决向量的问题.

【类型二】数形结合在抽象函数问题中的应用

【2020全国高考山东理数1卷】若定义在R的奇函数 f（x）

在 （-∞， 0）单调递减，且f（2）=0，则满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是（   ）

A. [-1， 1]∪[3， +∞）         B. [-3， -1]∪[0， 1]

C. [-1， 0]∪[1， +∞）         D. [-1， 0]∪[1， 3]

【分析】抽象函数问题由于没给出解析式，逻辑推理的难度较大. 而运用数形结合方法则能起到化抽象为具体的作用.

【解析】因为f（2）=0，f（x）为奇函数，所以f（-2）=-f（2）=0，因此y=f（x）的函数图像经过点（-2，0）、（2，0），且f（x）在（-∞， 0）是减函数，由对称性可得f（x）在x>0时的图像也是递减，从而可得出f（x）的草图，如图2. 把f（x）的图像整体往右平移1个单位，可得到f（x-1）的图像，如图3. xf（x-1）≥0即是x与f（x-1）同号，当x>0时f（x-1）≥0，由图像得出为[1， 3]. 当x<0时，f（x-1）≤0，由图像得出为[-1， 0]. 因此选D.

【小结】数形结合思想能够直观地解决抽象函数的问题.

【类型三】数形结合在几何问题中的应用

【2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）】 设直线l∶ y=kx+b（k>0）与圆x2+y2=1和圆（x-4）2+y2=1均相切，则k=_……