童其林

有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往有法可循，并可以积累一定的经验. 而对无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究转化为对有限的研究，就成了解决无限问题的必由之路. 反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限的问题转化成无限来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想.

数学中我们常碰到一类无穷的问题，如果能找到无穷问题的一般规律，便不难求解. 比如，下面的例1就是无限化有限解决问题的：

例1.（龙岩市2020年高中毕业班3月教学质量检查，文科12题）已知数列{an}满足an+1=2+ ，则a1+a2020的最大值是（     ）

A. 4-2      B. 8-      C. 4+2      D. 8+

解析：依题意an+1=2+ 可化为（an+1-2）2+（an-2）2=4，令bn=（an-2）2，则bn+1+bn=4，∴ bn+2+bn+1=4，于是bn+2=bn，

∴ b1=（a1-2）2，b2020=b2=（a2-2）2=（a2020-2）2

∴ b1+b2020=b1+b2=4，即（a1-2）2+（a2020-2）2=4.

法一：a1=2+2cos a2020 =2+2sin ？圯a1 + a2020 =4+2 sin（ - ）≤4+

2 （当且仅当 =2k？仔+ （k∈N）时等号成立）.

法二：∵  ≤ ，

∴ a1 + a2020 =（a1-2）+（a2020-2）+4≤2× +4=4+2 （当且仅当a1 =a2020 =2+ 时等号成立）.

法三： （a1-2）2+（a2020-2）2=4，即（a1， a2020）在圆（x-2）2+（y-2）2 =4上，

令z=x+y，即x+y-z=0，∴ d= ≤2，∴ | z-4|≤2 ，

∴ 4-2 ≤z≤4+2 ，∴ zmax=4+2 .

點评：本来是一个无穷数列的问题，通过周期转化为（a1-2）2+（a2020-2）2=4，后面有限的处理便是常规问题了，这是无限化有限的典型例子.

抓住变量的变化趋势或临界状态或边界点，可以把有限的问题转化为对无限的问题来研究，从而比较快速、准确地解题.比如，下面的例2就是有限化无限解决问题的：

例2. （人教A版必修四课本144页B组第5题改编）函数f（x）=sin2022x+cos2022x （x∈R）的值域是_________________.

解析：设f（ ）= sin x  +cos x  ，x∈{n|n=2k， k∈N+}利用三角变换，估计f（ ）在x=2，4，6时的取值情况.

当x=2时，容易得到f（ ）=sin 2  +cos2  =1;

当x=4时，f（ ）=sin 4  +cos4  可以变形成什么？

f（ ）=sin 4  +cos4  =（sin 2  +cos2  ）2 -2sin 2  cos2   = 1-2sin 2   cos2  .

将2sin 2  cos2   化单一三角函数，因为sin cos =  ，所以1-2sin 2  cos2  =1- . 又因为sin 2 2 = ，所以1- = . 可得到f（ ）= . 此时 ≤f（ ）≤1;

当x=6时，

f（ ）=sin 6  +cos6  =（sin 2  +cos2  ）（sin 4  +cos4  ） -（sin 2  cos4   +sin 4  cos2   ）= -sin 2   cos2  = + = + cos 4 ，得到 ≤f（ ）≤1.

因为当x=2即k=1时，f（ ）=1可以写成（ ）0≤f（ ）≤1;当x= 4即……