高慧明

一、考向预测

综合分析2011～2020十年高考试题，导数的综合应用涉及的主要考点是：生活中的最优化问题;利用导数解决不等式恒（能）成立与探索性问题;利用导数解、证不等式;利用导数研究函数零点问题. 2021年高考在导数综合应用方面，仍将以选填压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题能力.

二、新题剖析

例1. 已知函数f（x）=（x-a）ex（a∈R），

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程;

（2）如果函数f（x）在区间（0，1）上有极值，且f（x）+a≤0对于x∈[0，1]恒成立，求a的取值范围.

【解析】（1）当a=1时，因为f（x）=（x-1）ex，所以f ′（x）=xex.

因为f（1）=0，f ′（1）=e，

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1），

即ex-y-e=0.

（2）因为f ′（x）=（x-a+1）ex，函数f（x）在区间（0，1）上有极值，

所以0

当x变化时，f ′（x），f（x）的变化情况如下表：

因为f（x）+a≤0对于x∈[0， 1]恒成立，

所以f（0）+a≤0，且f（1）+a≤0.

所以 （1-a）e+a≤0，即a≥ .

因为1

所以 ≤a<2.

例2. 已知函数f（x）=lnx-（a+2）x+ax2  （a∈R），

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程;

（2）求f（x）的单调区间;

（3）若f（x）恰有两个零点，求实数a的取值范围.

【解析】（1）当a=0时，f（x）=lnx-2x，f ′（x）= -2，

所以f（1）=-2，f ′（1）=-1.

所以曲线在点（1， f（1））处的切线方程为y+2=-（x-1），即x+y+1=0.

（2）因为f（x）=lnx-（a+2）x+ax2，定义域为（0， +∞），

所以f ′（x）= -（a+2）+2ax= = .

①当a≤0时，f（x）与f ′（x）在（0，+∞）上的变化情况如下：

所以f（x）在（0， ）内单调递增，在（ ，+∞）内单调递减.

②当0

所以f（x）在（0， ）、（ ， +∞）内单调递增，在（ ， ）内单调递减.

③当a=2时，f ′（x）≥0，所以f（x）在（0， +∞）上单调递增.

④当a>2时，f（x）与f ′（x）在（0， +∞）上的變化情况如下：

所以f（x）在（0， ）、（ ， +∞）内单调递增，在（ ， ）内单调递减.

（3）由（2）可知：

①当a≤0时，f（x）在（0，  ）内单调递增，在（ ， +∞）内单调递减，

当x= 时，f（x）取得最大值f（ ）=-ln2-1- .

（i）当-4ln2-4≤a≤0时，f（ ）≤0，

所以f（x）在（0， +∞）上至多有一个零点，不符合题意.

（ii）当a<-4ln2-4时，f（ ）>0.

因为f（ ）>0，f（1）=-2<0，f（x）在（ ， +∞）内单调递减，

所以f（x）在（ ， +∞）内有唯一零点.

因为a<-4ln2-4<-e，

所以-a>e且0<- < < .

因为f（- ）=-ln（-a）+1+ <1-ln（-a）<1-lne=0，f（ ）>0.

且f（x）在（0，  ）内单调递增，所以f（x）在（0，  ）内有唯一零点.……