张黛茨 付庄艺 胡晓莉

摘 要：柯西-布涅科夫斯基不等式是数学中的重要不等式之一。它有多种表示形式及变形表达式，不论是在初等数学还是高等数学当中都有着重要应用。在中学数学中，熟练运用柯西不等式巧妙解决代数及几何相关问题往往事半功倍。笔者将主要通過具体的典型实例来分析运用柯西不等式解决解析几何中关于距离最值问题的技巧。

关键词：柯西不等式 中学数学 几何 最值问题

1821年法国数学家柯西最先提出了柯西不等式并将其应用于研究“流数问题”，而后俄国数学家布涅科夫斯基提出它的积分形式，而积分形式的现代证明则由法国数学家施瓦兹给出。因此不等式全称为柯西-布涅科夫斯基-施瓦兹不等式。这个不等式有许多运用，例如Cramér-Rao在1945到1946年证明了C-R不等式。后来，又有不少文献进行了这方面的研究。这类结果被称为C-R型不等式。《统计与真理》中C-R型不等式给出了可估参数的无偏估计量的方差下界，在估计理论中它也有着重要作用。1927年，海森堡发表的《量子理论运动学和力学的直观内容》提出的著名的不确定性原理（Uncertainty principle）同样也运用了柯西不等式。

柯西不等式是新课标选入的高等数学中的内容之一，具有对称和谐的结构，它的变换形式多样，在微积分、线性代数与概率论等领域都有着广泛的应用。这充分说明了不同数学领域之间的内通性，渗透性以及完备性。柯西不等式是中学数学证明命题中最强有力的一个工具。……