吴荣燕，周剑良，阳璞琼

(1.南华大学 电气工程学院，湖南 衡阳 421001；2.南华大学 核科学技术学院，湖南 衡阳 421001)

射频四极管是磁约束核聚变托卡马克装置中的一个重要器件，其性能对于射频波发射质量起着决定性作用[1]。由于射频四极管的结构和工作原理十分复杂，很难直接获得发射电流随其结构参数的变化情况。对四极管电流的分析一般采用等效电压方法转换为两个等效三极管处理。三极管的电流流通规律比二极管复杂得多，迄今也没有严格的解析计算方法，通常将其转换为等效二极管，再用二极管的空间电荷限制的3/2次定律计算[2-3]。因此，通过研究二极管几何结构与电流电压关系可为射频四极管结构设计及优化提供有效依据。

真空二极管阴极有多种电子发射方式，如热电子发射、场致电子发射、光电子发射、次级电子发射等[4]。目前，大多数研究者采用同轴场致电子发射模型，其阴极输出电流密度可达107A/cm2或更大，已广泛用于高功率微波、X射线、强激光等领域[5]。邵浩等[6]利用KARAT软件对场致发射条件下同轴型向内发射二极管电流电压二维效应修正关系做了非常有意义的工作。Kostov等[7]利用KARAT软件模拟了发射极为有限长度同轴二极管的空间电荷限制流，证明二维空间电荷限制流是阴极长度与阳极半径之比的递减函数。Uhm[8]提出向内发射二极管在一定纵横比尺寸下，阴极表面单位面积的空间电荷限制流与阴极半径平方呈反比。Yang等[9]用半解析近似法对发射极为有限长度同轴二极管全电压二维空间电荷限制流进行了研究。Neira等[10]利用部分精确解和数值拟合相结合的方法推导了同轴真空二极管空间电荷限制流的相对论解。但相对成熟的同轴场致电子发射模型由于工作条件的限制并不适用于射频四极管，而适用于射频四极管的同轴热电子发射模型的相关研究尚鲜有报道。真空二极管的空间电荷限制流是设计高功率微波源等强流电子束器件的重要参数[5]。文献[11-12]得出一维情况下同轴无限长圆柱面空间电荷流的3/2次定律。但在实际应用中，同轴真空二极管并不是无限长，阴极发射粒子的面积也不是无限大，因此不能简单套用3/2次定律。然而，更接近实际情况的二维空间电荷限制流难以直接进行理论推导。Luginsland等[13]发现二维与一维空间电荷限制流间存在一定的关系。目前，普遍采用的方法是首先通过数值模拟仿真或半解析等理论方法对二维空间电荷限制流进行计算，再根据其与一维空间电荷限制流之间的关系进行修正。

当前，国外有多种可用于微波器件模拟的粒子云网格(PIC)软件。其中，最具影响力的主要有美国空军实验室的ICEPIC、加州大学的OOPIC、MISSION公司的MAGIC和俄罗斯的KARAT及法国达索公司的CST等[14-15]。CST粒子工作室适用于电真空器件、粒子加速器、等离子体等自由带电粒子与电磁场自洽相互作用下运动的仿真分析，且能非常方便地导入现行的各种3D建模文件，因此引起了国内外学者的广泛关注[16-17]。王洪广等[18]利用CST粒子工作室分别对平行平板和同轴传输线微波器件的微放电阈进行了模拟计算。Safi等[19]对Ku波段锥形螺旋线行波管和Q波段折叠波导行波管进行了建模仿真，结果表明CST能准确地模拟真实尺寸的行波管。Tian等[20]利用CST粒子工作室对基于粒子云网格法带状注慢波结构的三维快速时域非线性算法进行了验证，结果一致性良好。本文采用CST粒子工作室对同轴热电子向外发射二极管模型进行模拟仿真，研究二维空间电荷限制流随二极管几何结构参数变化的规律。

1 模型建立

1.1 热电子发射电流密度

所有物体里均含有大量的电子，但这些电子在常态下所具有的能力不足以逸出物体，要将它们从物体里释放出来，必须另外给予它们能量，或设法将阻碍它们逸出的力消除[4]。热电子发射给予电子能量的方式是加热物体，电子在物体里无序热运动的能量随温度的增高而增大。其中有些电子则能克服抑制他们逸出的阻力而逃逸出物体。当金属表面没有外电场时的发射电流密度，称为零场发射电流密度(J0)，J0与温度T和逸出功Eφ的关系为：

J0=A0T2exp(-Eφ/kT)

(1)

式中：A0为发射常数，A0=120.2 A/(cm2·K2)；k为玻尔兹曼常数。

逸出功Eφ与阴极材料的性质有关。本文选取的阴极材料为敷钍钨，电子逸出功Eφ约为2.63 eV[21]，敷钍钨阴极工作温度为2 000 K。当金属表面有外电场存在时，发射电流密度与极间电压的关系如图1所示，发射电流密度先随极间电压的升高而增大，这一段为空间电荷限制区；当电压超过一定值时，发射电流密度保持不变，这一段为温度限制区[2-4]。本文研究二极管工作在空间电荷限制区时电荷限制流随几何结构参数的变化情况。

图1 发射电流密度与极间电压的关系Fig.1 Relationship between emission current density and electrode voltage

1.2 一维近似空间电荷限制流

在一维近似条件下，假设电极长度较半径大得多，电极间的电场可认为是均匀的，可得到泊松方程[2]为:

(2)

式中：V为与电极同轴的圆上任一点电位；R为与电极同轴的圆半径；ρ为电极间的空间电荷密度；ε0为真空介电常数。

在电极间取与电极同轴的圆柱面，其半径为R，高度为1，则流过该圆柱面的电流I为：

I=2πRρv

(3)

电子速度和电位的关系为：

(4)

结合式(2)、(3)和(4)，可得：

(5)

式中，e、m和v分别为电子电荷、电子静止质量和电子速度。

B=x-0.4x2+0.091 67x3-

0.014 24x4+0.001 68x5+…

(6)

式中，ra、rc和L分别为阳极半径、阴极半径和阴极长度。

由式(6)可看出，在空间电荷限制条件下，不论电极系统形状如何，电流是电压的3/2次方函数是普遍适用的。空间电荷限制流与二极管电压、阳极和阴极半径、阴极长度等参数有关。

1.3 二极管模型及仿真流程

1) 二极管模型目标及模拟参数设置

二极管工作在空间电荷限制区，如何在不产生虚阴极的情况下得到一定电压条件下的阳极、阴极半径及阴极长度这些几何结构参数是二极管设计的关键问题之一[22]。本工作拟利用CST粒子工作室，对同轴向外发射二极管的二维空间电荷限制流进行模拟，在不产生虚阴极情况下，得到一定结构尺寸条件下二维空间电荷限制流与一维空间电荷限制流之间的关系，即二维空间电荷限制流模拟值修正系数α(α=二维空间电荷电流模拟值/一维经典理论值)。

本文采用粒子跟踪求解器对二极管模型进行模拟。二极管三维模型和一维图示于图2。二极管阳极和阴极材料为理想导电导磁材料，模型背景为真空，定义边界条件均为open。网格划分采用自动网格划分和手动局部加密方法[14]。发射管的阴极材料为敷钍钨，定义粒子源发射类型为热电子发射模式，温度设置为2 000 K，逸出功为2.63 eV，电子热发射初速度为0，阳极电压设置为2 000 V，阴极电压设置为0 V。仿真模式为静电模式，忽略电子束流自身磁场。

2) 二维空间电荷限制流仿真流程

为探明二维空间电荷限制流模拟值修正系数α随二极管几何结构参数的变化情况，本文取不同阳极半径ra、阴极半径rc和阴极长度L，对二极管二维空间电荷限制流进行了模拟。首先，保持ra不变，研究空间电荷限制流随rc和L的变化情况；然后，保持半径比(ra/rc)不变，L在10～200 mm范围内变化时，研究α随纵横比H(H=L/ra)的变化情况；最后，当L在10～200 mm范围内变化时，研究α随ra/rc(ra/rc=1.2、2、3、4、5、6)的变化情况。考虑到边缘效应影响，模拟过程中阳极长度取值大于阴极长度。

2 结果与分析

2.1 空间电荷限制流与阴极长度和半径的关系

为研究空间电荷限制流与L和rc的关系，在ra恒为24 mm的情况下，首先保持rc(分别为12、16和20 mm)不变，改变L(变化范围为10～160 mm)，研究空间电荷限制流随L的变化情况；然后，保持L(分别为80、120和160 mm)

不变，改变rc(变化范围为5～25 mm)，研究空间电荷限制流随rc的变化情况。图3为空间电荷限制流与L和rc的关系，可看出，二维电流和一维电流是L和rc的递增函数。

图3 电流与阴极长度(a)和阴极半径(b)的关系Fig.3 Current vs cathode length (a) and current vs cathode radius (b)

2.2 半径比相同时修正系数曲线的一致性

半径比相同的情况下，ra和rc有很多种组合。探究半径比相同，ra和rc的取值不同时，α是否恒定对半径比相同情况下二维空间电荷限制流修正系数曲线的一致性具有重要意义。选取半径比为3时，研究ra=12 mm、rc=4 mm和ra=30 mm、rc=10 mm两种情况下α随纵横比H的变化情况，结果如图4a所示，可看出，半径比同为3时的修正系数曲线几乎一致。

2.3 半径比不相同时修正系数曲线的变化规律

图4b为不同ra/rc时二维空间电荷限制流的修正曲线，α是H的单调递减函数，随ra/rc逐渐增大，二极管二维空间电荷限制流逐渐减小，即随ra/rc逐渐增大，α逐渐降低，这与文献[7]结论相一致。之所以存在这样的规律，可能是因为一维空间电荷限制流一般认为电流轨迹呈直线，其电流密度沿二极管径向均匀分布。而二维空间电荷限制流在径向横截面呈扩展分布，这是由空间电荷引起沿二极管径向分布的电流密度不均匀造成的[7]。图5为电流发射分布，可看出，阳极上被电流占据区域的长度明显大于阴极长度，可知二维空间电荷限制流在发射区域有扩展分布情况。仿真是在电子发射初速度为0、阳极和阴极之间无磁场、静电模式下忽略电子束流自身磁场条件下进行的。图6为ra/rc=1.2及ra/rc=3时电流发射状态，可看出，扩展分布区域发生在阴极边缘处，可能是因为边缘处的电子在发射区域外没有电子对其排斥的作用力，但会受到发射区域内部电子的排斥作用，导致边缘区域电子受内部电子的排斥力和电场力的共同作用沿着径向往外扩展发射。工作电压和阳极半径相同的情况下，半径比越小，边缘区域电子在排斥力和电场力共同作用下从阴极到阳极的距离越小；反之，半径比越大，则边缘区域电子在排斥力和电场力共同作用下从阴极到阳极的距离越大，可见扩散距离会随半径比增大而增加。

图4 ra/rc=3(a)及不同ra/rc(b)时二维空间电荷限制流修正曲线Fig.4 Two-dimensional space charge limited current correction curve with ra/rc=3 (a) and different ra/rc values (b)

图5 电流发射分布Fig.5 Current emission distribution

图6 ra/rc=1.2(a)及ra/rc=3(b)时电流发射状态Fig.6 Current emission state with ra/rc=1.2 (a) and ra/rc=3 (b)

当阴极长度一定，阳极和阴极之间的距离较小时，电流扩展分布的程度也较小(图6a)。随二极管阴极长度不断增加至无限长，可近似看成是一维空间电荷限制流理想条件，此时二维空间电荷限制流与一维空间电荷限制流之比趋近于1。随着阳极和阴极之间的距离增大，电流扩展分布的程度也随之增大(图6b)，则二维空间电荷限制流与一维空间电荷限制流之间的差别也变大。

2.4 几何结构对虚阴极产生临界条件的影响

虚阴极产生的临界条件是二极管模型设计时的重要参数[20]，二极管的电压、阳极和阴极半径及阴极长度都会影响虚阴极的产生。

1) 阳极和阴极半径的影响

相同电压下，固定阴极长度L(L=64 mm)，模拟不同阳极半径ra(ra取值范围为24～60 mm)下，开始产生虚阴极时对应的阴极半径。得到阳极与阴极半径比随阳极半径变化时产生虚阴极的临界曲线(图7a)。由图7a可看出，相同电压下，开始产生虚阴极时，阳极与阴极半径之比是阳极半径的递减函数。

2) 阴极长度之间的影响

相同电压下，固定阳极半径ra(ra=40 mm)，模拟在不同阴极长度L(L取值范围为10～80 mm)情况下，开始产生虚阴极时的阴极半径。得到阳极与阴极半径比随阴极长度变化时产生虚阴极的临界曲线(图7b)。由图7b可看出，相同电压下，在阴极长度近似小于30 mm时，阳极与阴极半径比是阴极长度L的递减函数；在阴极长度近似大于30 mm时，阳极与阴极半径比不再随阴极长度L变化。可见，当阴极长度大于30 mm时，阴极长度对虚阴极产生的影响不大。

3) 电压的影响

为了研究电压对产生虚阴极的影响，模拟了不同电压(5～50 kV)下，开始产生虚阴极时阳极与阴极半径比随阳极半径变化的情况。图7为半径比与阳极半径和半径比与阴极长度对虚阴极的影响。由图7a可看出，随工作电压的增大，半径比与阳极半径关系曲线有向下微移的趋势。电压对虚阴极的影响显然没有阳极和阴极半径变化对虚阴极的影响显著。由图7b可看出，随着工作电压的增加，半径比与阴极长度关系曲线同样有向下微移的趋势。

图7 半径比与阳极半径(a)和半径比与阴极长度(b)对虚阴极的影响Fig.7 Influence curve of radius ratio vs anode radius (a) and radius ratio vs cathode length (b) on virtual cathode

3 结论

利用CST粒子工作室对热电子向外发射同轴二极管结构参数变化与二维空间电荷限制流之间关系进行了研究。以一维经典计算理论作为依据，结合模拟结果分析了不同几何结构参数的二维空间电荷限制流与一维计算值之间的关系，发现α是H的单调递减函数，随着阳极半径与阴极半径之比逐渐增大，α逐渐降低；研究了在一定电压条件下，虚阴极产生与几何结构之间的关系，发现二极管的电压、阳极和阴极半径及阴极长度都会影响虚阴极的产生。利用修正系数得到二维空间电荷限制流随几何结构参数改变而变化的关系，可为射频四极管结构设计和优化提供参考和一定理论依据。