李兆龙, 朱士信

(合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

文献[1]提出量子码,其在量子计算中有良好的纠错能力;文献[2]提出基于经典码构造量子码的方法,即CSS构造方法。后来量子码的构造被推广到非二元情形[3-4]。此后,编码理论界通过有限域上各种经典码,如RS码[5]、BCH码[6]、常循环码[7-9]等,构造了一系列量子码。

随着编码理论的发展,基于有限环上经典码构造量子码的方法受到广泛关注。文献[10]基于环F2[u]/(u2)上循环码构造了量子码;文献[11]基于环F4[u]/(u2)上循环码构造了参数较优的二元量子码;文献[12]基于环F2m[u]/(uk+1)上循环码构造了参数较优的2m元的量子码;文献[13]基于环Fp2m[u]/(u2)上循环码构造了参数较优的pm元量子码。此后,基于有限非链环上经典码的量子码构造方法同样受到广泛的关注。文献[14]基于非链环F2[v]/(v2-v)上循环码构造了二元量子码;文献[15]基于非链环Fp[v]/(v2-v)上的循环码构造了p元量子码;文献[16]基于非链环Fp[v]/(v3-v)构造了p元量子码;文献[17-18]基于非链环Fq+uFq+vFq+uvFq上经典码,通过选取不同的Gray映射,分别构造了p元量子码。最近,文献[19]基于非链环F2+uF2+vF2上循环码构造了二元量子码,其中u2=u,v2=v且uv=vu=0。以上结果表明,基于非链环上经典码可以构造参数较优的量子码。受此启发,本文将基于环R=Fq+uFq+vFq上常循环码构造量子码,其中q是一个奇素数幂,u2=u,v2=v且uv=vu=0。

环R是一个主理想环,它有3个极大理想(1-u)、(1-v)和(u+v)。文献[20]利用代数的方法分别研究了环R上的线性码和斜循环码的代数结构。本文基于环R的直和分解研究该环上(1-2u-2v)-常循环码,并将其应用于量子码的构造。

1 预备知识

设p>3是一个素数,m是一个正整数且q=pm。设……