陈世军

(阳光学院，福建 福州 350015)

0 引言

在时变广义系统的稳定性和具有对称循环结构的广义大系统的最优控制中存在求解Riccati矩阵方程(RME)解的问题，尤其是求解广义Riccati矩阵方程的约束解问题[1-2].RME的一般形式可表示为

(1)

近年来，许多学者对非线性矩阵方程的数值解进行了研究，并给出了一些有效的算法.例如：Long等[3]证明了求解非对称Riccati方程迭代算法的收敛性；张凯院等[4]用牛顿算法和修正共轭梯度算法研究了Riccati矩阵方程的对称解问题；Y.Q.Lin等[5]分析了非线性代数Riccati方程迭代算法的收敛性；Y.F.Ke等[6]利用交替方向法求解了矩阵方程的非负解；周富照等[7]等给出了子矩阵约束下矩阵方程的正交投影迭代解.本文借鉴非精确牛顿算法(In-Newton算法)、修正共轭梯度算法(MCG算法)和正交投影迭代算法(OPA算法)原理，建立了一种求广义方程(1)的对称和反对称约束解的迭代算法，并通过数值算例比较了两类算法的计算效率.

1 建立求方程(1)Ω1-2解的非精确Newton算法

为了计算方便，引入如下记号：

根据ψ(X)、φX(Y)和γ(Y)的表达式和矩阵乘法的性质，易推导出

ψ(X+Y)=ψ(X1+Y1,X2+Y2)=ψ(X)+φX(Y)+γ(Y)，

(2)

其中φX(Y)是ψ(X)在点X沿Y方向的Frechet导数.

由Newton算法的基本原理可知，当Y1和Y2的范数较小时，可以舍去式(2)右端关于Y1和Y2的高次项γ(Y)，即用式(2)右端的线性部分近似可得ψ(X+Y)≈ψ(X)+φX(Y).设(X1,X2)∈Ω1-2是方程(1)的近似解，则求方程(1)的一组解(X1,X2)等价于求校正值(Y1,Y2)∈Ω1-2使ψ(X+Y)=O，并可以把求方程(1)的解X近似为求方程(3)的解(Y1,Y2).方程(3)的表达式为:

φX(Y)=-ψ(X).

(3)

本文利用Newton算法求方程(1)Ω1-2解的步骤如下：

Step 3 计算X(k +1)=X(k)+Y(k)，令k∶=k+1，转Step 2.

参照Newton算法，本文给出求方程(1)Ω1-2解的非精确Newton算法如……