展秀珍， 李瑞虎， 付 强， 李沪生， 吕京杰

(空军工程大学基础部， 西安， 710051)

在分布式存储系统中，为了实现数据的可靠存储与恢复，三重备份是简单易行的方案[1]。由于三重备份的存储效率低且存储代价过大，因此人们提出了存储负荷更低的纠删码方案[2-3]。局部修复码是一种新型纠删码，其码字的任一符号位发生故障时，都可通过访问其他固定数目的符号位恢复信息。2012年，Gopalan等人提出局部修复码(Locally Repairable Code， LRC)的概念[4]：若C=[n,k,d]q是码长为n，维数为k，最小距离为d的q元线性码，码字c=(c1,…,cn)∈C的第i(1≤i≤n)位ci都能通过其他至多r位恢复，则称C是局部度为r的局部修复码，并记为C=[n,k,d;r]q。文献[4]还给出Singleton-Like(S-L)界：

(1)

当等式成立时，称码达到了S-L界。特别地，当k=r时，S-L界退化为经典的Singleton界。为了更加精确地描述LRC 4个参数之间的限制关系，2013年Cadambe和Mazumdar提出一个考虑域的大小q的界，即Cadambe-Mazumdar(C-M)界[5]:

(2)

若C=[n,k,d;r]q达到S-L界或C-M界，或者不存在参数为[n,k,d;r-1]q的局部修复码，则称C是局部度最优的(r-最优的)。

在工程应用中，小域上LRC编码和解码复杂度低，从而更具有实用性[6]。Gopalan等人提出LRC的概念之后，人们构造了在小域上达到S-L界[7-10]或C-M界[11-12]的LRC。在四元域上，人们得到一些局部度最优LRC的结果：文献[13]构造了四元LRC[4i+3,3i+1,3;3]4和[4i+4,3i+2,3;3]4(i≥1)。与文献[13]相比，Ernvall等人还构造了参数为[4i+4,3i+1,3;4]4(i≥1)的四元LRC，这三类LRC是局部度最优或拟最优的[14]。Barg等人利用代数曲线和代数曲面构造了参数为[n,k,d;r]q=[18,11,3;2]4的LRC[15]。Fu等利用缩短q元汉明码与(q2+1)-cap构造了d=3,4的四元LRC[10]，其参数为[17-s,13-s,4;11-s]4(0≤s≤5)，[12-j,8-j,4;6-3i-t]4(j=4i+t,0≤t≤3,0≤i≤1)，[21-s,18-s,3;15-s]4(1≤s≤9)和[12-j,9-j,3;6-2i-t]4(1≤j=3i+t≤4,0≤t,i≤2)。文献[16]利用有限域上的自同构群构造一般域上的LRC，可得到参数为[2,1,2;1]4，[4,1,4;1]4，[4,2,2;1]4，[4,3,2;3]4，[3,2,2;2]4和[5,4,2;4]4的四元LRC。

四元域是二元域的二次扩域，四元码能够转化为二元码。……