李涧萍 范进军

( 山东师范大学数学与统计学院,250358,济南 )

1 引 言

零解稳定性对微分方程组的定性研究非常重要，在微分方程理论及实际应用中，主要利用Lyapunov直接法对自治系统零解稳定性进行研究[1-3]. 这一方法受制于Lyapunov函数的构造，因为对一般系统很难构造适当的Lyapunov函数. 由平面自治系统理论可知，零解稳定性的问题与所给系统的线素场有关，然而从几何角度来判定零解的稳定性的研究较少. Matlab在微分方程方面有众多应用[4-8]. 本文借助Matlab强大的绘图功能，探究判定零解稳定性的新方法：基于零解稳定性的几何特征，尝试通过Matlab编程，在相平面上绘制出方程的线素场来判定零解的稳定性.

2 预备知识

为了利用Matlab来判断平面自治系统零解的稳定性，本文首先对平面自治系统零解稳定性的定义及其分类进行介绍.

设有自治系统

(1)

假设F∈C(R×G)(G为R2中包含原点的一个区域)且满足解的存在唯一性定理的条件.

易见该系统不显含自变量t，其轨线在相平面上不相交，故在使用Matlab分析图象时只需观察系统在相平面上的轨线特征.

定义1(稳定性[1]) 若对∀ε>0,t0≥0,∃δ=δ(ε,t0)>0,x0∈G，只要‖x0‖<δ，(1)式满足初值x(t0)=x0的解x(t;t0,x0)都在t≥t0上有定义，且当t≥t0时，有‖x(t;t0,x0)‖<ε，则称方程组(1)的零解是稳定的；反之，则不稳定.

∀ε>0,∃T=T(ε,t0,x0)>0,t>t0+T时，‖x(t;t0,t0)‖<ε，

则称方程组(1)的零解是吸引的.

定义3(渐近稳定性[1]) 零解既是稳定的又是吸引的，则称零解是渐近稳定的.

3 Matlab在判断平面自治系统零解稳定性中的应用

由于系统的任意非零解，都可以经过平移变换化为一个新系统的零解，所以判断系统的一个解是否稳定，只需判断新系统的零解是否稳定即可. 为方便起见，假定所给系统有零……