袁存林 宋义壮

( 山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )

1 引 言

实际获取的图像总是受到模糊和噪声的干扰，这种干扰降低了图像的质量. 因此，直接从成像设备中得到的图像总是为退化图像. 在一些诸如医学成像的领域中，这种退化图像会影响医生的诊断，甚至可能会导致误诊而引起医疗事故.因此，从含有模糊和噪声的退化图像中复原原始图像有着重要的应用价值.

记u∈Rm1×m2为原始图像，观测的低质量图像f∈Rm1×m2由图像u受模糊和噪声的干扰而形成.在数学上，图像复原可表示为以下问题的反问题：

f=Au+η,

(1)

其中η为高斯白噪声，A为与模糊算子对应的矩阵.

本文旨在从观测图像f重建高分辨率图像u，该问题可通过求解问题(1)的最小二乘问题

(2)

来求解.问题(2)通过变分法可以转化为

ATAu=ATf.

(3)

而矩阵ATA是病态的，其最小特征值在零附近，在受噪声干扰的情况下，直接求解(3)式会放大噪声.

(4)

其中，第一项为保真项，第二项为正则化项，权重参数λ>0.这是一个N-P难问题.

使用l1或lq(0

(5)

小波框架变换W一般可表示为以下形式：

(6)

图像u在小波框架下分解，得到系数Wαu，其中α∈Λ={(α1,α2)∈Z2|0≤α1,α2≤r}.当α=0时，W0,0u为稠密系数，它刻画了图像的全局特征，即每个像素取为局部像素的加权平均；当α≠0时，由于Wαu中大部分元素为零或集中在零附近，称Wαu为稀疏系数，它刻画了图像的局部特征，即图像的奇点或细节特征，比如边缘和隐式边缘.系数大部分为零或集中在零附近的现象称为稀疏性.模型(5)中参数γ的选取需要反映系数Wu的稀疏性，在本文中……