赵小菲 吴彩莲 朱爱玲

( 山东师范大学数学与统计学院, 250358, 济南 )

1 引 言

考虑长度为L且带有阻尼项的均匀简支梁自由振动的初边值问题[1]

(1)

其中u(x,t)表示位移,a2=EI/(ρA),ρ是单位面积梁的质量,A是梁的横截面积,E是材料的弹性模量,I是截面对中性轴的惯性矩,EI和ρA则分别是抗弯刚度和线密度,这些量对于均匀梁均为常数[2],μ(≠0)∈R为阻尼系数,L为常数,f(x,t),g0(x)和g1(x)为已知函数,且都满足一定的光滑性.

梁振动方程在桥梁建设、土木工程、噪声控制和航空航天等方面有广泛应用[3,4],而带有阻尼项的梁振动方程可以更好地描述现实中的应用情况,因此对问题(1)的研究具有重要意义.文献[5,6]用有限元方法求梁振动方程的数值解,可以更好更精确地处理复杂区域,但计算难度大,数值算例的程序编写困难.对于不带阻尼项的梁振动方程,文献[7,8]提出梁振动方程的半解析方法;文献[9,10]运用引入中间函数将四阶方程转化为二阶方程组的方法构造了紧致差分格式;文献[11,12]利用Taylor展开式构造出几种高阶紧致数值格式.

本文采用文献[12]对四阶空间导数项的处理方法,对带有阻尼项的梁振动初边值问题进行离散,利用中心差分对时间导数项进行离散,从而得到四种不同的高阶数值格式.这四种格式在时间方向均达到二阶精度,在空间方向分别达到二阶、四阶、四阶和六阶精度.最后通过数值算例验证了所提格式的有效性.

2 格式的建立

带有Peano余项的Taylor级数展开式为

(2)

(3)

由(2)式可得

(4)

(5)

令(3)式中m=1,2,p=5,可得

(6)

令(3)式中……