呼 星 汝

西北大学 数学学院，西安 710127

非线性演化方程及其精确解在物理、自然科学等领域有着非常重要的作用，因此构造非线性发展方程的精确解一直以来都是广大数学物理研究的重要问题之一． 众所周知，对称群理论[1]和Painlevé分析理论[2-3]是发现和解决非线性演化方程的两大重要方法． 在可积系统中，获取非局域的方法主要有逆递推算子法[4]、Darboux变换法[5]、Bäcklund变换法[6-7]、截断的Painlevé方法[8]等． Painlevé分析是研究系统可积性的重要方法之一，其重要的一个推广是截断的Painlevé展开方法． 该方法不仅可以直接构造系统的Bäcklund变换和解析解，还可以用来构造系统的非局域对称，并且很多方程的相互作用解可以由非局域对称得到． 文献[9]在做非局域对称的Painlevé截断展开时发现，奇异流形的留数是一个非局域对称，称为留数对称[9]． 文献[10]通过Painlevé截断展开方法提出了相容的Riccati展开方法(CRE)，此方法不仅可以用来证明方程的CRE可解性，而且可以根据可解性来构造方程的不同类型的相互作用解，例如孤立子、椭圆函数解等，这说明很多可积系统是相容Rccati展开可解并具有相互作用解的．

本文主要研究了如下形式的Kaup-Boussinesq方程[11]

(1)

方程(1)描述了浅水波运动，其中u(x，t)表示水平底部以上的水面高度，v(x，t)是相关的水平速度场． 当γ=2时，方程(1)可化为Boussinesq系统

(2)

(3)

文献[11]利用F展开法得到了方程(1)的一些精确解；文献[12]给出了广义Kaup-Boussinesq方程的不变解和守恒律；文献[13]利用Euler-Lagrange变分原理得到了Kaup-Boussinesq方程的守恒律． 目前，方程(1)的留数对称及其相互作用解还未被研究．