李益军，陈光淦

四川师范大学 数学科学学院，成都 610068

随机偏微分方程应用于物理学的众多领域，近年来在各数学分支的发展推动下，随机偏微分方程也得到相应发展和研究，如关于随机Burgers方程[1]、随机Swift-Hohenberg方程[2]等的研究．

在内积为〈·，·〉，范数为‖·‖的Hilbert空间H中研究如下的非线性随机偏微分方程

(1)

其中u=u(t，x，ω)，x∈有界区域D． 小扰动项εLu表示与分支的距离． 算子A假定为自伴随且非正的，噪声由一般的Q-维纳过程给出，详见第一节．

本文在稳态改变的附近，运用时间尺度变换来导出方程的有效近似系统． 值得指出的是，扰动强度与噪声强度对系统的有效近似有着重要影响，使得有效近似系统的近似形式和收敛率有着重要差异[3-7]．

1 预备知识

用N：=kerA表示A的核空间，T：=N⊥表示N在H中的正交补空间．Pc为从H到N的投影，Ps为从H到T的投影． 假设Pc，Ps与A可交换，A-1dW存在，假设N为n维，其标准正交基为{g1，g2，…，gn}．

分数阶Sobolev空间Hα定义如下

定义算子Dα：Dαgk=kαgk，因此有‖u‖α=‖Dαu‖．

线性算子A生成解半群eAt满足

引理1在假设1下，存在常数M>0，K>0，使得对所有的t>0，β≤α，u∈Hβ有

假设3B是一个从Hα×Hα到Hα-β的有界双线性算子，其中α，β由假设2给出． 不失一般性，可假设B是对称的，即B(u，v)=B(v，u)，且满足PcB(u，u)=0，u∈N． 本文中，取B(u，v)=uv．

定义1定义随机卷积

τ*：=T0∧inf{T>0|‖a(T)‖α>ε-k或‖ψ(T)‖α>ε-2k}

定义3对于一个实值的随机过程族{Xε(t)}t≥0． 如果对每个p≥1都存在一个常数Cp满足

则我们称Xε=O(fε)．

最后指出，用字母C表示所有正常数，它依赖于T0，k，α，B，Q，L，A及其给出的数据． 同时规定如下简记符号：Bs：=PsB，Bc：=PcB． Lc，Ls，Ac，As，Wc，Ws同理．

2 主要结论

对于方程(1)，将其解u(t)分解为两部分

(2)

其中a∈N，ψ∈T． 选取时间尺度变换为T=εt，将(2)式代入(1)式，并分别做Pc，Ps投射可得到

(3)

和

(4)

(5)

其中r(T)是……