向阳雨，贾维敏，张峰干

（火箭军工程大学，陕西 西安 710025）

0 引言

阵列天线因为其形成的天线波束具有高增益、窄波束、低旁瓣、易电扫等特点，近年来在雷达、声纳、无线通信等领域广泛运用。所以如何优化非均匀阵列天线的方向图，得到更加理想的指向波束，成为了该领域研究的热门问题[1]。天线峰值旁瓣电平（Peak Sidelobe Level，PLSS）直接影响了波束指向的准确程度，于是把最高旁瓣电平作为衡量方向图好坏的重要指标[1⁃2]。但是随着大规模阵列天线的研发和天线结构的日趋复杂化，传统的天线算法已经不能满足优化需求，基于生物仿生智能优化算法的出现，给解决类似的多元非线性问题提供了新的思路。文献[3]提出一种迭代遗传算法优化方案，实现了将非均匀线性阵列的最高旁瓣电平降至低于-20 dB 的优化目标；文献[4]中针对不同数量的阵元和不同主波束方向转向角值，通过粒子群优化（PSO）来降低最高旁瓣电平（PSLL），并使主波束指向特定方向，结果表明该算法在阵列因子响应和抑制PSLL 方面都表现出良好的性能；文献[5]将人工蜂群优化算法（Artifi⁃cial Bee Colony，ABC）和差分进化算法（Differential Evo⁃lution Algorithm，DE）相融合得到新的混合算法ABC⁃DE，可以作为研究时间调制阵列综合问题的有效方法。文献[6]提出了布谷鸟搜索（Cuckoo Search，CS）算法，该算法模拟了布谷鸟寻巢育雏的行为，这种基于莱维飞行的算法具备较好的全局搜索能力和局部搜索能力，且收敛于全局最优[7]。但是因为阵列天线的方向图优化是一个多约束的峰值寻优问题，计算量复杂程度高且对求解精度有较高要求，而传统CS 算法仅依赖于莱维飞行进行随机游走，不能保证它的收敛时间，而且有一定概率因为大步长搜索跳出最优解范围。

为了提高算法的优化能力和质量，本文采用改进的混沌布谷鸟搜索（Modified Chaotic Cuckoo Search，MCCS）算法对阵列天线的方向图进行优化。该算法采用混沌映射Sinusoidal 作为步长因子，并且针对上一代的最优种群、非最优种群和单个个体提出不同更新策略，然后在相同孔径条件及阵元数目的条件下，将该算法和其他多种进化算法分别用于稀布线阵的方向图优化中，证明了该算法的优化速度和优化能力优于其他算法，可以在较短时间内得到更低的峰值旁瓣电平。

1 阵列天线方向图优化模型

图1 是一个不均匀排布的直线阵列模型，阵列孔径为L。直线阵列由N个不等间距的天线阵元分布组成，di表示第i个阵元与第一个阵元之间的距离，这里i≤N，令其主波的指向为θ0，根据方向图乘积原理可得其方向图函数的表达式为：

图1 非均匀直线阵列天线阵示意图

根据方向图的最大旁瓣电平的定义可知，方向图最大旁瓣电平PSLL 的计算公式可以表示为：

式中：max 表示求最大值函数；FdB(θ)表示归一化后的方向图函数；S表示方向图的旁瓣区间，若方向图主瓣的零点功率点为2φ0，则S={θ|θmin≤θ≤θ0-φ0∪θ0+φ0≤θ≤θmax}，设相邻两个阵元的距离间隔满足条件：min{di-di-1}≥dc，1 ≤i≤N，其中：dc为一常数，表示相邻阵元之间的最小距离间隔，一般取半倍波长，为保持阵列口径不变，直线阵两端必须有阵元，则：

这里将di拆成xi+(i-1)dc两个部分，则可以得到：

通过上述操作将优化目标由di转化为了xi，将搜索空间从[0,L]减小到[0,L-(N-1)dc]。可以通过优化x的取值优化阵元的位置，从而达到降低直线阵列方向图峰值旁瓣电平的目的。

2 改进的混沌布谷鸟算法

2.1 传统布谷鸟搜索（CS）算法

布谷鸟搜索算法是通过理想化和简化布谷鸟的借巢育雏过程，达到优化目的的智能算法。该行为中布谷鸟依靠随机游走的莱维飞行，选择鸟巢产卵替代原来鸟窝里的卵，而原鸟巢的主人也有一定概率发现并抛弃布谷鸟的卵。根据文献[7]，CS 算法主要依照以下三条原则进行更新：

1）通过莱维飞行随机选择位置进行更新；

2）保留上一次更新后的更优解；

3）有Pa的概率抛弃一部分解，并在同样位置上放置新解，Pa∈(0,1) 。

其位置更新公式如下：

式中：是第t轮迭代中第i个鸟巢的位置；α为步长因子；Pa为发现概率。在标准的CS 算法中，步长α=L10和Pa=0.25，其中L是待优化问题的特征尺度。

因为CS 算法本质上是一种进化算法，在新一轮的迭代中，会优先在上一轮的最优解附近进行搜索，可以看到主要影响CS 算法性能的参数主要为：步长因子α和发现概率Pa，步长因子α主要控制最优解的搜索范围，Pa则使算法出现扰动，防止算法陷入局部最优解。因此，对α和Pa进行调整是提高优化性能主要的两个方面。

2.2 混沌步长因子

本文将α的值分别用文献[8]中的12 个不同的混沌映射代替，得到12 组α性能不同的改进CS 算法。为选出最适合的混沌映射，用表1 中的10 个测试函数对使用不同映射CS 算法进行了基准测试，分别将种群规模、种群数量和发现概率设置为100，50 和0.25，迭代1 000 次后比较测试结果。

表1 常用测试函数

测试后得到的结果如表2 所示，A0表示通过传统CS算法得到的寻优结果，A1～A12表示使用相应混沌映射后得到的寻优结果，其中加粗结果为单次测试的最优值。从测试结果中可以看出，选择适当的混沌映射函数对于是否能够进一步改进CS 算法至关重要。

与A0即传统CS 算法相比，大部分具有混沌步长的CS 算法，相较于基本算法加速了算法收敛。从表2 中可以看出，使用A11等混沌映射可以提高CS 算法的搜索精度，加速算法收敛，在多次迭代之后，采用A11后的CS 算法在测试中最多次寻得最优解且寻优结果与最优值的差异最小，即使用A11（Sinusoidal Map）的CS 算法得到的结果要优于使用其他混沌映射的CS 算法。所以综合考虑，应选择A11作为最终用于改进CS 的映射函数，即：

表2 测试结果比较

2.3 改进的更新策略

对于传统CS 算法，发现概率Pa是针对整个种群的，即一旦被发现整个种群都会被置换为新解，这样直接对整个种群进行更新，群体的个体之间的差异逐步减小，不利于保持种群的多样性，可能会使算法出现陷入局部最优、过早收敛的情况。对于以上问题提出两个方面的改进措施：第一，针对非最优解采取不同的更新策略；第二，在对种群进行更新的同时对非最优解种群进行个体更新。

改进后的混沌布谷鸟算法进化策略为：

3）比较更新后的种群和初始种群之间的适应度值，保留适应度值更高的种群后得到Xt+1，通过式（5）得到αt+1。

4）用Xt+1和αt+1重复步骤1）～步骤3），直至满足结束条件。

这样的改进在原算法的基础上保留部分最优解，同时增强了对最优解附近可行解的搜索，并通过对个体的更新策略扩大了种群多样性，使种群跳出了固有的更新模式，在保证搜索效率的同时提高了搜索精度。

3 实验仿真结果分析

3.1 标准函数测试

为了验证MCCS 算法性能，将分别用MCCS、CCS[8]以及CS[7]算法对表1 中的10 个测试函数进行独立实验，种群规模NP 为50，迭代次数为10 000 次，每个算法独立运行20 次，并通过对比这20 次实验的寻优平均值（Mean）、标准差（SD）和搜索成功率（Percentage of Successful Runs，PSR）对比算法搜索能力差异。选取的测试函数均为单目标测试函数，最优值为0，当计算结果低于10-5为搜索成功。

对表3 中的实验结果进行分析，每组测试的最优值都以下划线标出，除了f3，f7外，MCCS算法的寻优平均值都比CS 和CCS 算法更接近测试函数的最优值，并且MCCS 对函数f1，f2，f6，f9，f10的寻优成功率都达到了100%，说明MCCS 算法较其他两种算法有更强的寻优能力；除f7外，MCCS算法的标准误差值远小于CS和CCS算法的标准误差值，说明该算法搜索准确度高、稳定性强。

表3 标准函数测试结果对比

函数f8为典型的多峰值单目标优化函数，而MCCS算法对该函数的寻优结果明显优于其他两种算法，说明经过改进后的MCCS 算法更适合解决本文研究的非均匀线阵优化问题。经过三个方面的比较可以看出，经过对CS 算法的有效改进，MCCS 在性能上比其他两种CS算法都有较大提升，可以将该算法应用到实际的优化问题中。

3.2 稀布线阵优化仿真实验

为了检验MCCS 对稀布线阵的优化能力，本节设计了4 组实验，前3 组实验分别设置了三种不同尺寸的天线，通过MCCS 与ICS[9]、DELF[10]、HGA[11]、BPSO[12]等算法对各尺寸线阵进行优化仿真，每一种算法独立运行50 次，以计算出的PSLL 的最优值和平均值作为衡量指标。最后一组实验则是将MCCS 应用到超大规模线阵中，更进一步地验证MCCS 在阵列天线优化上的适用性。2L表示天线孔径大小，Ne 表示阵元数目，λ为波长。实验结果如图2～图5 所示。

实验1：2L=98.5λ，Ne=152

第一组实验针对尺寸为98.5λ，阵元数为152 的阵列进行优化，由图2 可以看出，在50 次独立实验中MCCS 取得的最优结果是-25.88 dB，均值为-25.32 dB。

图2 仿真实验1 实验结果

实验2：2L=90.5λ，Ne=132

第二组实验针对尺寸为90.5λ，阵元数为132 的阵列进行优化，由图3 可以看出，在50 次独立实验中MCCS 取得的最优结果是-25.52 dB，均值为-25.03 dB。

图3 仿真实验2 实验结果

实验3：2L=73λ，Ne=78

第三组实验针对尺寸为73λ，阵元数为78 的阵列进行优化，由图4 可以看出，在50 次独立实验中MCCS 取得的最优结果是-23.37 dB，均值为-20.12 dB。

从各组实验的收敛曲线上（图2c）、图3c）、图4c））明显可以看到，MCCS 算法比其他算法以更快的速度收敛到最优解附近，同时还能更进一步精细搜索最优解。

图4 仿真实验3 实验结果

通过表4 中五种算法在三组实验的优化结果来看，在实验1、2 中，阵元稀布率为77.4%和72.9%，对于这样阵元排布较为紧凑的稀布线阵，MCCS 的优化效果较其他几种算法提高的较为显著，最优值和均值都降低1 dB以上；在实验3中，阵元稀布率为53.4%，而在排布较为稀疏的稀布线阵中，MCCS 虽然在最优值上达到了-23.37 dB，远低于其他算法，但是在均值上较其他算法提高的并不明显，这可能是因为在较为稀疏的线阵中，因为阵元可排布的空间较大，即算法需要搜索的范围变大，100次的迭代并没有使算法完全收敛，但是50次重复实验中依旧有较好的数据，说明MCCS 的全局搜索能力也是优于其他算法的。

表4 仿真实验结果 dB

实验4：2L=999.5λ，Ne=1 540

实验4 模拟了针对超大规模阵线的优化，该阵列尺寸为999.5λ，阵元数为1 540，分别采用MCCS 和DELF算法对该大规模线阵进行优化，DELF 是一种运算速度快且优化效率高的算法，适用于类似大规模阵列天线等需要较大计算量的优化问题。

通过图5 可看出，虽然MCCS 独立运行一次的时间略高于DELF 算法，但是从优化结果上来看，使用MCCS算法得到的PSLL 比使用DELF 算法的PSLL 降低4～6 dB，大幅降低了超大规模线阵的峰值旁瓣电平，说明在优化超大规模阵的问题上，MCCS 有效降低了峰值旁瓣电平，可以在阵列天线优化问题上得到广泛的应用。

图5 仿真实验4 实验结果

4 结语

针对传统智能算法在解决阵列天线方向图优化问题上易陷入局部最优和搜索精度不高的问题，本文通过改进CS 算法提高了非均匀线阵的优化效率。使用混沌映射Sinusoidal 代替固定步长因子α，利用混沌算子的无序和遍历性提高算法的搜索精度；采用了新的更新策略，使种群跳出了固有的更新模式，保证算法的搜索效率。通过标准函数测试证明了改进后的算法在性能上有了较大提升，更适用于解决阵列天线优化问题。在稀布线阵方向图仿真实验中，该算法在抑制峰值旁瓣电平上优势明显，确实提高了优化效率，并且较其他算法具备更强的稳定性，在超大规模的线阵优化问题中，优化效果显著，可以更进一步应用到大规模线阵中去。