张 萍，杨甲山

(1.邵阳学院理学院，湖南 邵阳 422004； 2.梧州学院大数据与软件工程学院，广西 梧州 543002)

0 引言

振动性是微分方程有关理论的重要分支之一，它在自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时它也获得了学者们的广泛关注，并取得了许多研究成果[1-16].但关于同时具有阻尼项、正负系数、多变时滞及非线性中立项的n阶微分系统的研究却很少.考虑如下偶数阶微分方程的振动性：

(1)

(H1) 函数A，Pk，b，Qi，Rj∈C([t0，+∞)，[0，+∞))，k=1，2，…，h；i=1，2，…，m；j=1，2，…，l(下同，略).Bk，fi，gj∈C(R，R)并且uBk(u)>0(u≠0)，ufi(u)>0(u≠0)，ugj(u)>0(u≠0).

关于方程(1)的解及其振动性的定义，可参见文献[1-7，9-10，16].本文只讨论方程(1)的非平凡解.方程(1)包括了许多类型的微分方程，典型的如二阶Emden-Fowler型微分方程：

[A(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+Q(t)|x(t)|γ-1x(t)=0，

(2)

{A(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0.

(3)

以及具有正负系数的二阶延迟微分方程：

{A(t)[x(t)+P(t)x(t-τ0)]′}′+Q(t)f(x(t-σ0))-R(t)g(x(t-δ0))=0，

(4)

(5)

则方程(2)是振动的.

黄记洲等[3]则研究了二阶Emden-Fowler型微分方程(3)的振动性，并得到了该方程振动的Hille型如下振动准则：

则方程(3)是振动的.

仉志余等[4]研究了具有正负系数的二阶微分方程(4)的振动性，主要结果如下：

定理C[4]设0≤P(t)<1，Q(t)≥0且R(t)最终为负.进一步，如果

则方程(4)是振动的.

杨甲山等[5]则研究了较一般的具有正负系数的二阶微分方程(5)的振动性，进一步推广并改进了文献[4]的结果.而关于具有多变时滞和正负系数的n(n≥3)阶微分方程的振动性结果，目前还很少.本文将研究同时具有非线性中立项、阻尼项、正负系数及多变时滞的非线性偶数阶方程(1)的振动性，进一步改进、推广并拓展了现有文献中的研究成果.

1 几个引理

记

(6)

引理1[6]设u在[t0，+∞)上是正的n次可微函数，u(n)(t)最终定号，则存在t*≥t0和整数l(0≤l≤n)，当u(n)(t)≥0时n+l为偶数，当u(n)(t)≤0时n+l为奇数，使得：当l>0时有u(k)(t)>0，t≥t*，k=0，1，…，l-1；当l≤n-1……