林府标，张千宏

(贵州财经大学数统学院，贵州 贵阳 550025)

0 引言

目前虽然已经提出了精确求解非线性偏微分方程的许多行之有效的方法，例如齐次平衡法[1-3]，指数函数法[4-5]，广义Tanh函数法[6-8]，试探函数法[9-11]等，但是求解非线性偏微分方程并没有普遍适用的统一方法，而且许多重要的非线性偏微分方程至今还没有找到精确解.因此，继续探索精确求解非线性偏微分方程的新方法和给出新的精确解是一项有实际意义和探究价值的工作.下列Riccati方程在流体力学、弹性振动理论、生物学等众多领域有着广泛且重要的应用：

(1)

特别地，广义Tanh函数法的关键思想就是充分利用Riccati方程(1)进行反复计算，将φ的所有导数转化成关于φ的代数多项式，从而把非线性偏微分方程的精确求解问题归结为非线性代数多项式方程根的探究问题.另外，运用Riccati方程(1)的一个好处是参数b的符号可用于判断所得行波解的数量和形状.

众所周知，Riccati方程(1)具有三角函数和有理函数类型的显式精确解[6-8].另外，文献[12]给出了Riccati方程(1)的12种类型的显式精确解.运用试探函数法结合Matlab软件计算给出 Riccati方程(1)的8种类型的显式新精确解，其结果列于表1，而表1中的显式精确解在文献[6-8，12]中并没有给出.

本文首先用试探函数法结合Matlab软件计算寻找Riccati方程(1)的显式新精确解；其次运用所获得的Riccati方程(1)的新精确解构造精确求解非线性演化偏微分方程的exp(-ψ(ξ))展式法；最后采用广义Tanh函数法和exp(-ψ(ξ))展式法求解一类Kadomtsev-Petviashvili方程和(3+1)维KdV型方程……