武王宁，曹廷彬

(南昌大学数学系，江西 南昌 330031)

1 引言与主要结果

首先介绍一些多复变的Nevanlinna理论的相关定义。

令z=(z1，…，zm)∈m，‖z‖2=

Bm(r):={z∈m:‖z‖

1962年，Clunie[1]得到了如下引理:如果w(z)是复平面上的一个亚纯函数使得微分方程

wnP(z，w)=Q(z，w)

成立，其中n∈，P(z，w)和Q(z，w)是系数为亚纯函数的关于w(z)和w′(z)的多项式且degQ(z，w)≤n。那么

m(r，P(z，w))=O(logr+logT(r，w)+T(r))

其中r→∞除去有限个线性测度集合，T(r)是P(z，w)和Q(z，w)的系数的特征函数的最大值。这个结果在复微分方程的值分布研究中是一个很重要的工具，之后许多学者在此基础上进行了推广[2-8]。2006年，Halburd-Korhonen[9]证明了上述Clunie引理的差分版本(即P(z，w)和Q(z，w)是系数为亚纯函数的差分多项式且w(z)是有穷级的亚纯函数)，可以用于研究差分方程[10-11]的值分布问题。Laine-Yang[12]随后将其推广得到了更一般的结果:令w(z)是上的一个有穷级为ρ=ρ(w)的亚纯函数且使得微分方程

U(z，w)P(z，w)=Q(z，w)

成立，其中U(z，w)，P(z，w)和Q(z，w)是关于w(z)和w(z+c1)，w(z+c2)，…，w(z+ck)的差分多项式且degU(z，w)=n，degQ(z，w)≤n。如果U(z，w)，P(z，w)和Q(z，w)的系数为关于w(z)的小函数且U(z，w)只包含最大总次数的一项。那么对于任意的ε>0，

m(r，P(z，w))=O(rρ-1+ε)+ο(T((r，w)))

其中r→∞除去有限个对数测度集合。虽然此定理覆盖了很多方程，但不适用于差分Painlevé Ⅳ方程。为此，Korhonen[13]证明了一个新的差分Clunie型定理可以包含差分Painlevé Ⅳ方程。最近，Cao-Xu[14]把Laine-Yang[12]的差分版本的Clunie定理从单复变推广到了多复变。为此，我们考虑是否可以把Korhonen[13]得到的新的差分Clunie型定理从单复变推广到多复变。

定义复偏差分多项式如下:

w(z+cm)λm

(1.1)

其中aλ(z)关于m上的一个亚纯函数w(z)的小函数，ci∈m{0}(i=1，…，m)，I是一个有限的多指标集合。P(z，w)在w(z)和w(z+ci)(i=1，…，m)的总次数记为degw(P)，P(z，x0，x1，…，xm)在x0=0处关于变量x0的零点的阶记为ord0(P)。定义P(z，w)的权为κ(P)=

P(z，w)=w(z)3+w(z+1)w(z)2

degw(P)=3，ord0(P)=2，κ(P)=1。如果(1.1)中每一项的次数dλ=λ0+…+λn是非零且各项总次数均相同，则称P(z，w)是齐次多项式。