江卫华, 董 倩

(河北科技大学 理学院, 石家庄 050018)

0 引 言

分数阶微分和积分方程在流体力学、 化学工程、 机械学和控制论等领域应用广泛, 最常见的分数阶导数有Riemann-Liouville分数阶和Caputo分数阶导数等[1-6]. 目前, 关于一些常见的分数阶微分方程边值问题的研究已取得许多成果[7-9], 但对Conformable分数阶导数的研究文献报道较少[10-14]. Haddouchi[14]利用锥上不动点定理研究了如下Conformable分数阶微分方程:

(1)

得到了该方程至少存在一个正解, 其中α∈(1,2],η∈(0,1] ,f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续函数,Dα是Conformable分数阶导数.

受上述研究启发, 本文基于Conformable分数阶导数, 讨论下列三点共振边值问题：

(2)

解的存在性, 其中1<α≤2,Dα是Conformable分数阶微分.微分方程(2)满足下列假设条件：

(H1)βη=1；

(H2) 映射f： [0,1]×2→满足Caratheodory条件, 即当(x,y)∈2固定时, 对a.e.t∈[0,1],f(t,x,y)是t的可测函数； 当t固定时,f(t,x,y)是(x,y)的连续函数, 且对∀r>0, 存在φr∈Y, 使得|f(t,x,y)|≤φr(t)成立, 其中|x|≤r, |y|≤r, a.e.t∈[0,1].

1 预备知识

设X,Y是实Banach空间,L: domL⊂X→Y是指数为0的Fredholm算子,P:X→X和Q:Y→Y是连续投影算子, 且满足ImP=KerL, KerQ=ImL,X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ.因此L: domL∩KerP→ImL是可逆的, 用Kp表示其逆.

1) ∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1),Lu≠Nλu；

2) ∀u∈KerL∩∂Ω,Nu≠ImL；

3) deg(JQN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0, 这里J： ImQ→KerM是一个同构映射.

定义2[4]若α∈(n,n+1], 则函数y： [0,+∞)→的Conformable分数阶积分为

(3)

其中式(3)右边是在(0,+∞)上逐点定义的.

定义3[4]若α∈(0,1], 则连续函数y： [0,+∞)→的Conformable分数阶导数为

(4)

若α∈(n,n+1], 则连续函数y： [0,+∞)→的Conformable分数阶导数为

Dαy(t)=Dβy(n)(t),β=α-n.

(5)

其中式(4)和式(5)右边是在(0,+∞)上逐点定义的.

引理1[10]若当t>0,α∈(n,n+1]时,y(n+1)(t)存在, 则有Dαy(t)=tn+1-αy(n+1)(t).

引理2[4]若当α∈(n,n+1]时,y(t)是在[0,∞)上的连续函数, 则对t>0, 有DαIαy(t)=y(t).

引理3[7]若当α∈(n,n+1]时,y(t)是α阶可微的函数, 则对t∈(0,∞),Dαy(t)=0当且仅当y(t)=a0+a1t+…+antn, 其中ak∈,k=0,1,…,n.

引理4[7]当α∈(n,n+1]时, 如果Dαy(t)在[0,∞)上连续, 则

IαDαy(t)=a0+a1t+…+antn,ak∈,k=0,1,…,n.

2 主要结果

引理5(X,‖·‖),(Y,‖·‖)为Banach空间.

证明： 显然, (X,‖·‖)是Banach空间.

假设{yn}是Y中的一个Cauchy数列, 则

(6)

显然yn∈L[0,1], 又因为0<α<1,E=[0,1], 故对∀δ>0, 有

定义算子L： domL∩X→Y和算子N：X→Y分别为

Lu=Dαu(t),u∈domL,

Nu=f(t,u(t),u′(t)),u∈X,

其中

domL={u|u∈X,Dαu(t)∈Y,u(0)=0,u(1)=βu(η)}.

则微分方程边值问题(2)等价于Lu=Nu,u∈domL.

引理6设条件(H1)成立, 则L: domL⊂X→Y是一个0指标的Fredholm算子.

证明： 显然KerL={u∈domL|u(t)=ct, ∀t∈[0,1],c∈}.

取y∈ImL, 则∃u∈domL, 使得Lu=y, 即Dαu(t)=y(t).因此

(7)

将边值问题(2)的边界条……