李 小 朝

(黄淮学院 数学与统计学院, 河南 驻马店 463000)

1 引言与预备知识

Hom-代数是一类更广泛的代数结构, 目前已得到广泛关注： 文献[1-2]将李代数的Jacobi等式通过线性映射进行形变得到了Hom-李代数, Hom-李代数可视为通常李代数的一种形变或推广； Hu[3]给出了李代数形变的q-李代数； 文献[4-6]研究了Hom-李代数的结构和低维分类等； 文献[7-8]分别在低维Leibniz代数分类和低维Poisson代数分类的基础上, 利用待定系数法给出了低维Hom-Leibniz代数分类和低维Hom-Poisson代数分类. 文献[9]通过将向量空间L上李代数的反对称性条件[x,y]=-[y,x]换为对称性条件[x,y]=[y,x](∀x,y∈L), 给出了Jacobi-Jordan代数的概念, 指出Jacobi-Jordan代数是一类特殊的Jordan代数, 并给出了其低维分类； 文献[10]将Jordan代数的研究推广到δ-Jordan李超代数上, 研究了带有对称根系的任意分裂δ-Jordan李超代数的结构； 文献[11]给出了二次Hom-Leibniz代数的概念， 并研究了其若干重要性质; 文献[12]考虑满足Jacobi等式的交换代数——Mock李代数, 即Jacobi-Jordan代数. Jacobi-Jordan代数可通过反结合代数, 即满足(xy)z+x(yz)=0的代数, 类似于结合代数构造李代数的方法实现. 类似于文献[1-2,4]构造Hom-李代数的方法, 本文将Jacobi-Jordan代数的Jacobi等式通过线性映射进行扭曲, 给出Hom-Jacobi-Jordan代数, 并利用待定系数法, 给出低维Hom-Jacobi-Jordan代数的分类.

定义1[9]设L是数域K上的向量空间, 二元运算[,]:L×L→L是双线性的, 满足[x,y]=[y,x]和Jacobi等式： ∀x,y,z∈L, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.则称(L,[,])是一个Jacobi-Jordan代数.

定义2设(L,[,],α)是一个三元组, 其中L是数域K上的向量空间,α:L→L是一个线性映射, 二元运算[,]:L×L→L是双线性的, 若对∀x,y,z∈L, 满足下列条件:

1) [x,y]=[y,x];

2) [α(x),[y,z]]+[α(y),[z,x]]+[α(z),[x,y]]=0.

则称(L,[,],α)是一个Hom-Jacobi-Jordan代数. 条件2)称为Hom-Jacobi等式.若还满足α是自同态：α([x,y])=[α(x),α(y)], 则称(L,[,],α)为保积Hom-Jacobi-Jordan代数.

注1当α是恒等变换时, Hom-Jacobi-Jordan代……