张永平, 魏 竹, 张庆成

(1. 沈阳化工大学 理学院, 沈阳 110142； 2. 东北师范大学 数学与统计学院, 长春 130024)

Hom-型代数是在Hom-Lie代数[1]的基础上, 增加一个线性映射后得到的一类新代数, 是Hom-Lie代数的一种推广. 目前, 关于Hom-型代数的研究已有很多成果. 例如： 在一个代数体系中有Hom-Novikov代数[2-3]、 Hom-Leibniz代数[4-5]和Hom-结合代数[6-7]等； 在两个代数体系中有Hom-Novikov-Poisson代数[3]、 Hom-Novikov-Poisson超代数[8]和Hom-Gel’fand-Dorfmand代数[9-10]等. WANG等[11]在交换结合代数、 李代数、 Novikov代数的基础上定义了LPNG代数. 受上述Hom-型代数和LPNG代数的启发, 本文给出三个代数体系中Hom-LPNG代数的概念, 并给出Hom-LPNG代数的相关性质.

1 预备知识

定义1[9]设L是一个线性空间, ·:L×L→L是一个双线性映射,σ:L→L是一个线性映射, 如果下列条件成立：

x·y=y·x, ∀x,y∈L,

(1)

(x·y)·σ(z)=σ(x)·(y·z), ∀x,y,z∈L,

(2)

则称(L,·,σ)为Hom-交换结合代数.

定义2[3]设L是一个线性空间, ∘:L×L→L是一个双线性映射,σ:L→L是一个线性映射, 如果下列条件成立:

(x∘y)∘σ(z)=(x∘z)∘σ(y), ∀x,y∈L,

(3)

(x∘y)∘σ(z)-σ(x)∘(y∘z)=(y∘x)∘σ(z)-σ(y)∘(x∘z), ∀x,y,z∈L,

(4)

则称(L,∘,σ)为Hom-Novikov代数.

定义3[3]设L是一个线性空间, ·,∘:L×L→L是两个双线性映射,σ:L→L是一个线性映射, (L,·,σ)是一个Hom-交换结合代数, (L,∘,σ)为Hom-Novikov代数, 如果下列条件成立：

(x·y)∘σ(z)=σ(x)·(y∘z), ∀x,y,z∈L,

(5)

(x∘y)·σ(z)-σ(x)∘(y·z)=(y∘x)·σ(z)-σ(y)∘(x·z), ∀x,y,z∈L,

(6)

则称(L,·,∘,σ)为Hom-Novikov-Poisson代数.

定义4[9]设L是一个线性空间, [,]:L×L→L是一个双线性映射,σ:L→L是一个线性映射, 如果下列条件成立：

[x,y]=-[y,x], ∀x,y∈L,

(7)

[σ(x),[y,z]]+[σ(y),[z,x]]+[σ(z),[x,y]]=0, ∀x,y,z∈L,

(8)

则称(L,[,],σ)为Hom-Lie代数.

定义5[9]设L是一个线性空间, [,]和∘:L×L→L是两个双线性映射,σ:L→L是一个线性映射, (L,[,],σ)是一个Hom-Lie代数, (L,∘,σ)为Hom-Novikov代数, 如果下列条件成立：

则称(L,∘,[,],σ)为Hom-Gel’fand-Dorfman代数.

定义6设L是一个线性空间, [,],·,∘:L×L→L是三个双线性映射,σ:L→L是一个线性映射, 且(L,·,σ)为Hom-交换结合代数, (L,∘,σ)为Hom-Novikov代数, (L,[,],σ)为Hom-Lie代数, 如果式(5),(6),(9)及下列条件成立:

[x,y]·σ(z)=[x,z]·σ(y)+σ(x)·[z,y], ∀x,y,z∈L,

(10)

则称(L,·,∘,[,],σ)为Hom-LPNG代数.即(L,·,∘,σ)为Hom-Novikov-Poisson代数, (L,∘,[,],σ)为Hom-Gel’fand-Dorfman代数, 且运算·和[,]均满足式(10).

f∘g=f·∂(g), [f,g]=f·∂(g)-g·∂(f),σ(xα)=(x+c)α,

其中c∈是一个定值,α是任意正整数, 则(L,·,∘,[,],σ)为一个Hom-LPNG代数.

2 主要结果

证明： 证明……