白瑞蒲, 刘 培

(河北大学 数学与信息科学学院, 河北省机器学习与智能计算重点实验室, 河北 保定 071002)

1 引言与预备知识

3-李代数在数学物理等领域应用广泛, 关于其结构的研究目前已有许多成果. Bai等[1]给出了3-李代数的表示及其形变； 文献[2-3]研究了3-李代数的辛结构、 积结构和复积结构. 作为Hamilton力学系统的推广, 3-李代数在Nambu力学系统中的研究也得到广泛关注[4-9].

3-李代数L是域F上的向量空间, 且具有3-元斜对称线性运算[,,][10], ∀x1,x2,x3,y2,y3∈L, 满足

[[x1,x2,x3],y2,y3]=[[x1,y2,y3],x2,x3]+[[x2,y2,y3],x3,x1]+[[x3,y2,y3],x1,x2].

对于任意一个交换结合代数A及3个可交换导子D1,D2,D3,A按下列运算构成3-李代数:

[x1,x2,x3]=(D1∧D2∧D3)(x1,x2,x3),

且称其为Jacobi代数.因此, 如果A是实数域上3-元任意次可微函数全体构成的向量空间, 则A按运算

构成3-李代数, 该代数及其子代数称为典型Nambu 3-李代数.

是实数域上的线性空间, 则∀f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z)∈T,T按下列运算构成3-李代数:

将3-李代数仍记为T.为方便, 记

Ll=ysin(lx),Mr=zcos(rx), ∀l∈且l>0, ∀r∈且r≥0,

则有

L0=0,Ll=-L-l,Mr=M-r, ∀l,r∈.

可以验证, ∀l,m,n,r,s,t∈,T是以 {Ll,Mr|l∈且l>0,r∈且r≥0}为基, 具有如下乘法的3-李代数:

(1)

2 3-李代数T的可解性和幂零性

为方便, 记

Φ={L2q-1-(2q-1)L1,L2q-qL2|q∈且q>1},

Ψ={M2q+1-M1,M2q-M0|q∈且q>0}.

定理1向量组Φ∪Ψ构成3-李代数T的导代数T1的一组基.

证明: 由式(1)可知,

所以

pL2q-qL2p∈L1, (2p-1)L2q-1-(2q-1)L2p-1∈L1, ∀q>p≥1.

因此Φ∪Ψ⊆T1.再由式(1), 有

所以对任意l≠m,l,m≥0,l′≥0,m′≥1,s≥1,t≥0,s′≠t′,s′,t′≥1, 有

因此∀l,m∈, [Ll,Lm,Mm]是Φ中向量的线性组合.

同理, 对任意l∈且l>0,s,t∈且s,t≥0, [Ll,Ms,Mt]是Ψ中向量的线性组合, 且Φ∪Ψ是线性无关组.证毕.

为方便, 对任意的n≥2, 记

定理23-李代数T是非幂零的3-李代数.

证明: 首先证∀n∈且n≥2, 有Tn=[T1,T,T]=T1.由式(1), 对任意l,m,n∈,l≥2, 有

所以

定理3T是非2-可解的3-李代数.

证明: 易见T(0,2)=T,T(1,2)=[T(0,2),T(0,2),T]=T1.由定理1可知,

类似定理3可得如下结论.

定理4T是非3-可解的3-李代数.

3 内导子代数ad T的结构

引入下列符号:

Wr,s=ad(Lr,Ms),Xr,s=ad(Lr,Ls),Yr,s=ad(Mr,Ms), ∀r,s∈,

(2)

Γ={W1,r,Ws+1,0-Ws-1,0,Xr+1,1-Xr-1,1,Yr,0|r∈,r>0,s≥0},

(3)

W=〈pr|r∈且r≥0〉,V=〈qr,xr,yr|r∈且r>0〉,

(4)

Wr,s=-W-r,s=Wr,-s,Xr,s=-Xs,r=-X-r,s=-Xr,-s,Yr,s=-Ys,r=Y-r,s=Yr,-s,

pr=p-r,qr=-q-r,xr=-x-r,yr=-y-r,q0=x0=y0=0.

定理5adT具有基Γ={p0,pr,qr,xr,yr|r∈且r>0}, 并且∀r,t∈且r,t≥0及∀l,s∈且l,s>0， 乘法为

证明: 先证明Γ是a……