武芳芳, 王可心

(沈阳工业大学 理学院, 沈阳 110870)

0 引 言

格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method, LBM)在计算流体力学中应用广泛[1-2], 具有物理背景清晰、 边界易处理、 并行性良好和可扩展等优点[3]. 目前, LBM已成为一种求解各类非线性偏微分方程的有效数值方法[4-8].

考虑具有如下一般形式的一类三阶变系数偏微分方程：

(1)

其中a(t),b(t),c(t),d(t)均为t的任意函数,u是空间坐标x和时间坐标t的波幅函数, 参数p是非负常数,n为正整数.方程(1)在固体材料、 等离子体、 流体等物理学领域应用广泛[9-10].在等离子体和流体中, 方程(1)的特例如下：

1) 当a(t)=b(t)=0,n=1,F(u)=0时, 方程(1)为变系数KdV方程:

(2)

2) 当n=1,p=1,F(u)=0时, 方程(1)为修正的变系数KdV方程:

(3)

3) 当a(t)=0,b(t)=-3β,c(t)=2α,d(t)=1,n=1,p=1,F(u)=0时, 方程(1)为Gardner方程:

(4)

大多数变系数偏微分方程很难找到其解析解, 因此人们致力于寻找适当的数值方法求得这些复杂方程的数值解, 例如有限元法、 有限差分法和谱方法等[11-13].本文给出求解变系数偏微分方程(1)的高精度格子Boltzmann模型, 并通过数值算例验证该模型的有效性和精度.

1 格子Boltzmann模型

对方程(1)采用D1Q5速度模型, 其离散速度集合为{e0,e1,e2,e3,e4}={0,1,-1,2,-2}.格子Boltzmann模型[14]的局部粒子分布函数演化方程为

(5)

将式(5)等号左侧对空间x和时间t进行Taylor展开, 可得

再进行如下形式的多尺度Chapman-Enskog展开[14]：

(7)

其中ε为Knudsen数, 可表示为ε=l/L,l表示平均自由程,L表示特征长度.将式(7)代入式(6), 并比较ε的各阶系数, 可得:

定义宏观量u(x,t)为该点各方向的局部粒子分布函数之和, 即

综上所述，现代电气工程的建设和发展过程中，对于自动化技术及智能化已经取得了明显的进步，通过智能化技术已经提升了电气……