符 谦

(广西师范大学 数学与统计学院, 广西 桂林 541006)

1 引言及主要结果

考虑下列半正椭圆方程径向正解的存在性与不存在性：

(1)

其中Ω⊂N(N≥2)是一个环A或者单位球B, 参数λ>0,f∈C([0,∞),)且f(0)<0(半正),k: [a,b]→[0,∞)且k(|x|)不恒为0.此外, 当Ω为球时,k为线性映射; 当Ω为环时,k为单调增函数.环A和单位球B分别定义为

A∶={x∈N:a<|x|

由于f(0)≠0,k(|x|)不恒为0, 故u(x)恒为0一定不是方程(1)的解.本文总假设N≥2, 考虑方程(1)的正径向解, 令r=|x|,u=u(r), 则方程(1)可改写为

(2)

其中: 当Ω为单位球时,a=0,b=1; 当Ω为环时, 0

u(a)=u(b)=0,Ω=A,

(3)

u′(0)=u(1)=0,Ω=B.

(4)

本文总假设：

(H1)f∈C([0,∞),)且满足f(0)<0;

(H2) 存在S>0, 使得F(S)>0;

(H3) 若F(s)>0, 则f(s)>0;

(H5)k: [a,b]→[0,∞)且k(|x|)不恒为0; 此外, 当Ω=B时,k为线性映射; 当Ω=A时,k为单调增函数;

(H6) 若Ω=B, 则存在常数p,c>0, 使得|f(s)|≤c(sp+1)(当N=2时, 0

此外, 可将条件(H4)减弱为：

条件(H6)表明, 当Ω=B时,f(s)在无穷远处具有次临界增长阶; 条件(H4)强于条件(H7), 条件(H7)强于条件(H8).由条件(H1)和(H2)知,f(s)在(0,∞)上有零点, 记f(s)的第一个(最小的)零点为z, 则有

f(s)<0,s∈[0,z);f(z)=0.

(5)

定义

Z∶=sup{s>0:F(t)≤0,t∈[0,s]}.

(6)

因此0

F(s)≤0,s∈[0,Z];F(Z)=0;

(7)

F(s)>0,f(s)>0,s∈(Z,∞).

(8)

本文主要结果如下.

定理1假设条件(H1),(H5),(H7)成立, 则当λ>0充分小时, 方程(1)没有非负解.

定义集合：

(9)

其中Ω⊂N(N≥2)是一个环A或者单位球B.定义泛函

(10)

其中： 当Ω=B时,a=0,b=1; 当Ω=A时, 0

(11)

其边界条件为: 当Ω=B时,v′(0)=v(1)=0; 当Ω=A时,v(a)=v(b)=0.定义

(12)

如果f∈C1[0,∞), 则线性化算子L(uλ)的所有第一特征值均非负.

2 极小值点的存在性

下面除非特殊说明, 总假设条件(H1)～(H6)成立.定义范数‖u‖p, 其中1≤p≤∞,

(14)

任意地固定λ>0, 由式(14)知, 对∀ε>0, 存在一个常数M1=M1(ε)>0, 使得

|F(s)|≤εs2+M1,s∈.

(15)

由引理1知,i(λ)能由式(12)定义且i(λ)>-∞.如果u∈H*(Ω)且满足

则称u是I在H*(Ω)中的极小值点.下面寻找I的极小值点u, 并证明其为方程(2)的正径向解.由于I(0,λ)=0, 因此I的下确界非正.若其下确界为0, 则其极小值点可能是u恒为0, 但其并不是方程(2)的解, 故其下确界是负的.

证明： 首先证明存在一个函数V(x)满足V∈H*(Ω),V(r)不恒为0, 且

(17)

引理3若i(λ)<0, 则当λ′>λ时,i(λ′)<0.

证明： 令i(λ)<0, 则存在一点u∈H*(Ω), 使得I(u,λ)<0, 即

因此

当λ′>λ时, 有

即i(λ′)≤I(u,λ′)

引理4假设条件(H1),(H8)成立, 则存在一个λ1>0, 使得当λ∈(0,λ1)时, 有I(u,λ)≥0(u∈H*(Ω)),i(λ)=0.

证明： 由于f(0)<0, 则对较小的s>0, 存在常数c>0, 使得F(s)≤-c……