段 磊, 陈天兰

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

平均曲率问题来源于微分几何与物理学, 在力学、 天体物理、 相对论及非线性分析中应用广泛, 关于其解的存在性和多重性研究目前已有许多结果[1-4]. 非线性差分方程在计算机科学、 经济学、 神经网络、 控制论等的离散模型中应用广泛[5-7], 但关于离散平均曲率问题的研究目前报道较少[8], 且主要采用拓扑度理论、 上下解方法、 变分法、 临界点理论等方法. 本文用上下解方法和紧向量场方程的解集连通理论讨论一类离散平均曲率问题解的存在性.

对任意的整数a,b(a

文献[9]用紧向量场方程的解集连通理论和上下解方法研究了一类二阶三点边值问题

解的多重性结果, 其中常数α∈(0,∞),η∈(0,1)满足共振条件αη=1, 函数f: [0,1]×→连续.文献[10]用上下解方法和单调迭代理论研究了非线性二阶离散Neumann边值问题

解的存在性, 其中f: [0,T-1]××→连续且满足单边Lipschitz条件,T≥2,A,B∈.文献[11]用拓扑度理论、 上下解方法及临界点理论研究了一类带平均曲率算子的离散边值问题

多个正解的存在性, 这里λ>0为参数,n>4,q>1,μ: [2,n-1]→(0,+∞)是连续的.受上述研究结果启发, 本文用紧向量场方程的解集连通理论给出一维离散平均曲率方程Neumann问题

的上下解方法, 进而获得该问题解的存在性.

本文总假设:

(H1) 函数f: [1,T]×→连续;

(H2)φ: (-1,1)→,是一个递增的同胚映射, 且φ(0)=0.

1 预备知识

定理1[12]设C为Banach空间X的非空有界闭凸集,T: [a,b]×C→C(a

S={(λ,x)|T(λ,x)=x,λ∈[a,b]}

包含一条连接{a}×C与{b}×C的连通分支Σ.

定义1如果β: [0,T+1]→满足

则称β(t)是问题(1)-(2)的一个上解.

同理, 若改变式(3)和式(4)中不等号的方向, ……