段复建，原 腾

（桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004）

Sylvester矩阵方程在控制理论、切换系统、扰动分析等［1－4］众多领域有着广泛的应用。近年来，很多学者对这类方程进行了研究，并取得了一些成果。如Wang等［5－8］研究了求线性矩阵方程一般解的迭代算法；彭卓华等［9－10］分别研究了求线性矩阵方程的中心对称解、自反最佳逼近解的迭代算法；徐玉霞等［11］运用广义奇异值分解和投影定理，研究了线性矩阵方程的对称M对称最佳逼近解。目前为止，对于Sylvester矩阵方程的异类约束解的研究相对较少。本文针对求解矩阵方程A1X1B1＋A2X2B2＋＝F的自反和双对称约束解问题，将方程等价转化，使其转化为具有自反和双对称约束的正规矩阵方程组，从而构建求其约束解的自适应共轭梯度算法。

用Rm×n表示m×n的实矩阵的集合，A⊗B表示矩阵A与B的Kronecker积，R（A）和（A）分别表示矩阵A的列空间和将矩阵A按行拉直构成的列向量。定义同阶矩阵A与B的内积〈A，B〉＝tr（ATB），由此导出的矩阵的F范数为‖A‖＝。设P1，P2∈Rn×n是对称正交矩阵，若X∈Rn×n满足P1XP2＝X，则称X为关于矩阵P1，P2的广义自反矩阵。特别地，当P1＝P2＝P时，相应的广义自反矩阵就是通常的自反矩阵，记关于矩阵P的自反矩阵的集合为。用ei表示单位矩阵的第i列，记S＝（en，en－1，…，e1），则有S2＝In，ST＝S，若X∈Rn×n满足X＝XT＝SXS，则称X为双对称矩阵，记n阶双对称矩阵集合为BSRn×n。当，X2∈BSRn×n时，称之为自反和双对称约束矩阵。

考虑Sylvester矩阵方程的以下2个问题，建立求式（1）所表示的方程的自反和双对称约束最小二乘解的自适应共轭梯度算法，并在约束解集中找到给定矩阵的最佳逼近矩阵。……