林诗雨， 王芳贵， 陈 丹

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

本文恒设R是有单位元的交换环.pdRM和fdRM分别表示M的投射维数和平坦维数，gl.dim（R）和w.gl.dim（R）分别表示环R的整体维数和弱整体维数，FPD（R）表示环R的finitistic投射维数.

设M是R-模.称M是Max模，是指M的每个非零子模都有一个极大子模.称环R是Max环，是指所有非零R-模都是Max模.文献［1］对半素环进行同调刻画时，证明左完全环是左Max环.文献［2-5］进一步证明环R是Max环当且仅当它是一个局部完全环，当且仅当对任何p∈Max（R）有Rp是Max环.文献［6-7］从范畴的角度对Max环进行了等价刻画.文献［8］证明了R是一个局部完全环，当且仅当对任意R-模C有（F，C）＝0，其中F是一个循环平坦模.文献［9］用“投射下降法”对局部完全环进行了刻画.文献［10］用几乎投射模对局部完全环进行了刻画.M是一个几乎投射模.是指对任意的Rm-模N有（M，N）＝0，其中m∈Max（R）.环R是局部完全环当且仅当平坦模是几乎投射模.这时有FPD（Rm）＝0，其中m∈Max（R）.

文献［10］定义了模M的几乎投射维数和环R的几乎整体维数，分别用ApdRM和a.gl.dim（R）表示.若a.gl.dim（R）＝0，则R是von Neumann正则环.若a.gl.dim（R）＝1，则R是almost Dedekind整环.对R-模M，有

对环R，有

本文在文献［10］的研究基础上，对几乎投射模及几乎投射维数做了进一步的刻画.建立了商环上的几乎投射维数和满射情况下几乎整体维数的换环定理.在定义了环R的几乎finitistic投射维数AFPD（R）的基础上，证明

AFPD（R）≤Sup｛FPD（Rm）｜m∈Max（R）｝.指出了若环R是局部完全环，则AFPD（R）＝0.最后，证明了整环R是局部几乎完全整环当且仅当对R的任何极大理想m，有Rm是几乎完全整环.

1 几乎投射模与几乎投射维数

以下总用A P表示几乎投射模类.

命题1.1对模P，以下各条等价：