熊 涛， 王芳贵， 王 茜

（1.西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充637002； 2.四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066；3.四川文理学院 数学学院，四川 达州635000）

本文恒设R是给定的环，对左R-模N，

代表N的平坦（resp.投射，内射）维数.用Fn表示平坦维数不超过n的R-模簇，用

表示R的整体（resp.弱整体）维数.对于未解释的概念和符号，参考文献［1-2］.

模类＝｛W∈M｜对任意左R-模M∈Fn，都有（M，W）＝0.｝一直备受关注.Bass［3］证明了每个（左）R-模有投射盖当且仅当R是左完全环（等价地，每个平坦R-模是投射模）.随着盖包理论的发展，Enochs［4］提出了平坦盖猜测（flat cover conjecture，FCC）：每个R-模有平坦盖.此后，多篇文献讨论了平坦盖的存在性［5-7］.2001年，借助于模簇（学者们称之为余挠模），Bican等［8］解决了“FCC”，即证明了结合环上每个模都有平坦覆盖和余挠包络.

按照同调理论的观点，Mao等［9］定义了模M的余挠维数cotR M和环R的余挠整体维数l.cot.dim.（R），并且证明了环R是左完全环当且仅当

文献［9］的推论7.2.7称环R是左完全环是指每个R-模都有投射盖.R称为左m-perfect［10］是指每个平坦模的投射维数不超过m，由文献［9］的推论7.2.6可知环R是左m-perfect当且仅当

回顾交换环R称为几乎完全环是指它的每个真商环是完全环.几乎完全整环（almost perfect domains），简称为APD.作为余挠模理论的推进，Lee［11］将整环上的称为弱内射模.Fuchs等［12］定义了整环上的模的弱内射维数和环的弱内射整体维数，并在文献［11］的引理3.6和文献［12］的推论6.4中证明了一个整环是APD当且仅当它的弱内射整体维数≤1.Salce［13］证明了一个几乎完全环或者是完全环，或者是APD.此外，没有找到关于整体弱内射维数为零的相关环的表述……