王彦杰，曹 勃，洪晓春

（1.宁波职业技术学院 数学教研室，浙江 宁波 315800；2.云南财经大学 统计与数学学院，云南 昆明 650221）

0 引 言

考虑扰动的Hamilton系统

定义如下积分

对于弱化的Hilbert16问题，Khovansky[2]和Varchenco[3]在1984年独立地证明了Z(m,n)的存在性，但都没给出Z(m,n)的具体表达形式[2-3].对于特殊形式的Hamilton系统H(x,y)=U(x)+V(y)，其中U(x)和V(y)分别是关于x和y的多项式，对此类Hamilton系统相关文献很多，例如，Petrov估计了H(x,y)=y2-x+x3,H(x,y)=y2+x2+x4和H(x,y)=y2-2x2+x4三类Hamilton系统相应的Abel积分零点个数[4-6].当时，其中degU(x)=4且使得(1)0至少有一个中心，赵育林和张芷芬证明了Z(m,n)≤7n+5[7]，对于四次Hamilton 系统H(x,y)=−x2+x4+y4和H(x,y)=x2+y2+ax4+y4，周鑫和李翠平得到了相应Abel积分零点个数的上界[8-9].对于Hamilton函数H(x,y)齐明辉和赵丽琴证明

对于Hamilton函数H(x,y)中含有xiyj时，这里i和j是正整数，目前研究结果很少，当m=2，未扰动系统含有周期环域时，其对应的Hamilton函数规范型可化为

Horozov和Iliev应用Picard-Fuchs方程法证明了Z(m,n)≤5n+15[11].因此，针对原点是初等中心的Hamilton函数

吴娟娟，张永康和李翠萍证明了Z(m,n)≤对于形如下面Hamilton函数

其中a≥0,a≠ 2，杨纪华和赵丽琴得到其Abel积分零点个数的上界[13].对于下面一类具有幂零中心四次的Hamilton系统

针对极限环问题，文献[15]研究具有m条切换线的扰动微分系统的极限环个数问题，文献[16]研究一类连续的分段线性Hamilton系统在一次多项式扰动下，周期闭轨族附近分支出极限环的个数问题.

受文献[7 − 17]的启发，本文研究如下的Hamilton系统.

其中a2>4bc，a <2b，c <0，a <2c与之对应的向量场为

令

且该系统有一个幂零中点O(0,0)和四个鞍点Q1(A,B)，Q2(A,-B)，Q3(-A,B)和Q4(-A,-B).H(x,y)=0对应幂零中心对应于四个鞍点Qi(i=1,2,3,4)的多角环.且该系统只有一个围绕幂零中心O的有界周期环域，记其为且

Z(n)为 Abel积分I(h)在上的零点个数(包括计重数……