张 静

(南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023)

0 引言

非线性偏微分方程广泛应用于应用数学和物理学的各个分支，尤其在流体力学、高分子物理学、固体物理学等领域应用广泛.Sharma-Tasso-Olver(简称STO)方程最初由Sharma和Tasso在研究Burgers方程族时提出[1-2]，目前已有不少学者对其进行了深入研究.杨立娟等[3]利用推广的Hirota双线性方法研究了(1+1)维STO方程的新精确解，并进一步讨论其局域孤子结构.Dai等[4]使用了修正的简单方程法对STO方程精确解以及Hirota-SatsumaKdV系统进行阐述.Zhang等[5]着重分析了STO方程的对称约化及精确解.此外，学者们通过G′/G2展开法[6]、Auto-Bäcklund变换法[7]、exp-函数法[8-9]同样获得STO方程新的精确解.最近，杨健等[10]提出了辅助函数法，借助此方法获得了许多非线性偏微分方程的精确解.李伟[11]借助Cole-Hope变换获得了(2+1)维Burgers方程和Kdv方程的n-孤子解.

受以上研究启发，本文主要研究如下Sharma-Tasso-Olver(简称STO)方程

(1)

其中u=u(x，t)，α为任意常数.

接下来，借助辅助函数法和Cole-Hope变换法方法来构造STO方程的精确解.

1 辅助函数法

对于方程(1)，作行波变换，

u(x，t)=u(ξ)，ξ=kx-ct

(2)

其中k、c是非零常数.

将式(2)代入式(1)，有

-cu′+3αk2(u′)2+3αku2u′+3αk2uu″+αk3u‴=0

(3)

假设方程(3)有如下形式的精确解

(4)

其中ai为待定系数，而幂级数的最高次幂n可通过平衡常微分方程的非线性项和最高阶导数项来确定.

f(ξ)满足如下辅助常微分方程

f(ξ)′=f(ξ)2+λf(ξ)+μ

(5)

对辅助方程(5)的λ、μ分情况讨论，并求解该方程可以得到f(ξ)的7组不同精确解[10-12].

由方程(3)中的u2u′和u‴，得到n=1，则方程(1)的解可以表示为

u(ξ)=a0+a1f(ξ)

(6)

将式(5)和式(6)代入式(3)，合并f(ξ)的同次幂项系数，得到非线性代数方程组

(7)

求解式(7)得到两组解分别如下：

情形1:

(8)

其中a0、k为任……